A fim de que a sequência (
) não possua subsequência convergente, é necessário e suficiente que lim
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
de números reais e pede para verificar a equivalência entre duas afirmações:
- (A) a sequência
não possui subsequência convergente; - (B)
.
Em outras palavras: é necessário e suficiente (isto é, equivalente) que
e
ocorram simultaneamente? Vou provar as duas implicações (B
A) e (A
B).
Passo 2
Prova de (B
A): suponha
. Quero mostrar que
não tem subsequência convergente.
Explicação do conceito usado: se uma sequência (ou subsequência) converge em
para um número finito
, então os módulos convergem para
; isto é, se
então
, que é finito.
Agora o argumento: suponha, por contradição, que exista uma subsequência convergente
com
finito. Então
. Mas como
, qualquer subsequência também satisfaz
. Essas duas conclusões são contraditórias (uma sequência não pode tender simultaneamente a um número finito e a
). Portanto não existe subsequência convergente. Assim, (B) implica (A).
Passo 3
Prova de (A
B): suponha que
não tenha subsequência convergente. Quero deduzir
.
Estratégia didática: é mais simples provar o contraponente. A negação da afirmação (B) é: "
não tende a
", o que significa que existe um
tal que, para infinitos índices
,
. Vou usar isso para construir uma subsequência limitada e então aplicar um teorema fundamental.
Formalizando a negação: se não é verdade que
, então existe
tal que para todo
existe
com
. Isso fornece infinitos termos da sequência que ficam dentro do intervalo fechado
. Portanto existe uma subsequência
com
para todo
; isto é,
é uma subsequência limitada.
Agora aplico um teorema-chave (Bolzano–Weierstrass): toda sequência limitada em
possui uma subsequência convergente. Explicando esse teorema de forma simples: como os termos ficam num intervalo compacto
, pode-se dividir o intervalo repetidamente em metades e escolher sempre uma metade que contém infinitos termos; isso produz um intervalo aninhado de comprimento tendendo a zero que contém infinitos termos, e escolhendo um termo em cada etapa obtém-se uma subsequência que é Cauchy e portanto converge. (Outra explicação possível é: toda sequência real tem uma subsequência monotona, e uma subsequência monotona e limitada converge.)
Aplicando Bolzano–Weierstrass à subsequência limitada
obtemos uma subsequência convergente de
. Isso contradiz a hipótese (A) de que não existe subsequência convergente. Portanto a hipótese “não (B)” é impossível, logo (B) deve ser verdadeira. Assim, (A) implica (B).
Passo 4
Concluímos as duas implicações:
- se
então não tem subsequência convergente; - se
não tem subsequência convergente então .
Portanto as duas condições são equivalentes.
Passo 5
Dica de prova para a prova na prova: organize a solução mostrando primeiro a implicação direta (o argumento por contradição é curto e claro), depois prove a implicação inversa via contraponente e usando explicitamente o enunciado do teorema de Bolzano–Weierstrass. Se mencionar BW, escreva uma linha justificando por que se pode aplicá‑la (a subsequência construída é limitada). Isso ganha pontos porque mostra que entende a lógica.
Resposta
A afirmação é verdadeira.