A fim de que a sequência ( x_{n} ) não possua subsequência convergente, é necessário e suficiente que lim \left|x_{n}\right|=+\infty.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (x_n) de números reais e pede para verificar a equivalência entre duas afirmações:
  • (A) a sequência (x_n) não possui subsequência convergente;
  • (B) \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|x_n\right|=+\infty.
Em outras palavras: é necessário e suficiente (isto é, equivalente) que (A) e (B) ocorram simultaneamente? Vou provar as duas implicações (B \Rightarrow A) e (A \Rightarrow B).

Passo 2

Prova de (B \Rightarrow A): suponha \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|x_n\right|=+\infty. Quero mostrar que (x_n) não tem subsequência convergente.
Explicação do conceito usado: se uma sequência (ou subsequência) converge em \mathbb{R} para um número finito L, então os módulos convergem para |L|; isto é, se x_{n_k}\to L então \left|x_{n_k}\right|\to|L|, que é finito.
Agora o argumento: suponha, por contradição, que exista uma subsequência convergente x_{n_k}\to L com L\in\mathbb{R} finito. Então \left|x_{n_k}\right|\to|L|<+\infty. Mas como \left|x_n\right|\to+\infty, qualquer subsequência também satisfaz \left|x_{n_k}\right|\to+\infty. Essas duas conclusões são contraditórias (uma sequência não pode tender simultaneamente a um número finito e a +\infty). Portanto não existe subsequência convergente. Assim, (B) implica (A).

Passo 3

Prova de (A \Rightarrow B): suponha que (x_n) não tenha subsequência convergente. Quero deduzir \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|x_n\right|=+\infty.
Estratégia didática: é mais simples provar o contraponente. A negação da afirmação (B) é: " \left|x_n\right| não tende a +\infty", o que significa que existe um M>0 tal que, para infinitos índices n, \left|x_n\right|\le M. Vou usar isso para construir uma subsequência limitada e então aplicar um teorema fundamental.
Formalizando a negação: se não é verdade que \left|x_n\right|\to+\infty, então existe M>0 tal que para todo N existe n\ge N com \left|x_n\right|\le M. Isso fornece infinitos termos da sequência que ficam dentro do intervalo fechado [-M,M]. Portanto existe uma subsequência \left(x_{n_k}\right) com \left|x_{n_k}\right|\le M para todo k; isto é, \left(x_{n_k}\right) é uma subsequência limitada.
Agora aplico um teorema-chave (Bolzano–Weierstrass): toda sequência limitada em \mathbb{R} possui uma subsequência convergente. Explicando esse teorema de forma simples: como os termos ficam num intervalo compacto [-M,M], pode-se dividir o intervalo repetidamente em metades e escolher sempre uma metade que contém infinitos termos; isso produz um intervalo aninhado de comprimento tendendo a zero que contém infinitos termos, e escolhendo um termo em cada etapa obtém-se uma subsequência que é Cauchy e portanto converge. (Outra explicação possível é: toda sequência real tem uma subsequência monotona, e uma subsequência monotona e limitada converge.)
Aplicando Bolzano–Weierstrass à subsequência limitada \left(x_{n_k}\right) obtemos uma subsequência convergente de (x_n). Isso contradiz a hipótese (A) de que não existe subsequência convergente. Portanto a hipótese “não (B)” é impossível, logo (B) deve ser verdadeira. Assim, (A) implica (B).

Passo 4

Concluímos as duas implicações:
  • se \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|x_n\right|=+\infty então (x_n) não tem subsequência convergente;
  • se (x_n) não tem subsequência convergente então \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|x_n\right|=+\infty.
Portanto as duas condições são equivalentes.

Passo 5

Dica de prova para a prova na prova: organize a solução mostrando primeiro a implicação direta (o argumento por contradição é curto e claro), depois prove a implicação inversa via contraponente e usando explicitamente o enunciado do teorema de Bolzano–Weierstrass. Se mencionar BW, escreva uma linha justificando por que se pode aplicá‑la (a subsequência construída é limitada). Isso ganha pontos porque mostra que entende a lógica.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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