Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
D, onde raiz3 é a região no primeiro quadrante do plano cuja distância à origem é menor ou igual a

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla integral duplaD(x^2 + y^2) , dx , dy usando coordenadas polares. A região D está no primeiro quadrante e é tudo que está a uma distância menor ou igual a raiz3 da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e definir bem os limites de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar como funcionam as coordenadas polares. Em vez de usar x e y, usamos r e theta, onde:
  • x = r cos(theta)
  • y = r sin(theta)
Além disso, a área diferencial dx , dy muda para r , dr , dtheta em coordenadas polares. E x^2 + y^2 vira simplesmente r^2.
Então, nossa integral original integral duplaD(x^2 + y^2) , dx , dy fica:
integral duplaD r^2 cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^3 , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo theta varia de 0 a pi2 (90 graus). E o raio r varia de 0 até raiz3, que é a distância máxima da região D.
Então, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^raiz3 r^3 , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^raiz3 r^3 , dr = [ r^44 ]0^raiz3 = (raiz3)^44 - 0^44 = 94

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 94 , dtheta = 94 cdot [ theta ]0^pi2 = 94 cdot pi2 = 9pi8

Resposta

O valor da integral é 9pi8.

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