Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:
, onde
é a região no primeiro quadrante do plano cuja distância à origem é menor ou igual a
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. A região
está no primeiro quadrante e é tudo que está a uma distância menor ou igual a
da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e definir bem os limites de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar como funcionam as coordenadas polares. Em vez de usar
e
, usamos
e
, onde:
Além disso, a área diferencial
muda para
em coordenadas polares. E
vira simplesmente
.
Então, nossa integral original
fica:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo
varia de
a
(90 graus). E o raio
varia de
até
, que é a distância máxima da região
.
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.