Considere a função
f(x)= x+5, & se x<-2 -x^2-2 x+3, & se -2 <= x<1 -x+2, & se x >= 1 e x neq 3 2, & se x=3
Determine f(0) e todos os limites de f no ponto 0 .

Passo 1

A função é dada por partes em quatro casos, mas para calcular f(0) e os limites em x=0 só nos interessa o intervalo -2≤x<1. O tema é limites e continuidade de funções definidas por partes, e vamos usar que polinômios são contínuos.

Passo 2

Para encontrar f(0), observamos que 0 pertence ao caso -2≤x<1, em que f(x)=-x^2-2x+3. Logo,
f(0)=-0^2-2cdot0+3=3

Passo 3

Para o limite pela esquerda, quando x→0^- ainda temos -2≤x<1, então
limxto0^-f(x)=limxto0^-(-x^2-2x+3)=3, pois polinômios são contínuos.

Passo 4

De modo análogo, para o limite pela direita em x→0^+ usamos a mesma expressão e obtemos
limxto0^+f(x)=3

Passo 5

Como os limites laterais coincidem, o limite dois-lados em x=0 é
limxto0f(x)=3

Resposta

f(0)=3, limₓ→0⁻ f(x)=3, limₓ→0⁺ f(x)=3, limₓ→0 f(x)=3

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