Considere os números complexos não nulos z1=1+imath, z2=1-imath e z3=- 1-imath. Determine os valores (determinações) principais das potências:
(a) z1^imath z2^imath
(b) z2^2 z3^2 e compare com o resultado do item (a)
© z1^1 z3^imath
(d) e compare com o resultado do item ©
(e)
(f) e compare com o resultado do item (e)

Passo 1

Temos os números complexos não nulos z1=1+i, z2=1-i e z3=-1-i. Queremos calcular as potências (z1z2)^2, z1^iz2^i, (z2z3)^2, z2^2z3^2, (z1z3)^2 e z1^iz3^i usando forma polar e logaritmo principal: com e .

Passo 2

Convertendo em forma polar: todos têm módulo raiz2. Além disso, , e .

Passo 3

Calculando (z1z2)^2:
Multiplica-se z1z2=(1+i)(1-i)=2, logo
(z1z2)^2=2^2=4.

Passo 4

Calculando z1^iz2^i via logaritmo principal:
z1^i=e^i(lnraiz2+ipi/4)=e^-pi/4e^ilnraiz2, z2^i=e^i(lnraiz2-ipi/4)=e^pi/4e^ilnraiz2
Multiplicando vem
z1^iz2^i=e^-pi/4+pi/4e^i(2lnraiz2)=e^iln2=2^i

Passo 5

Portanto z1^iz2^ineq4 (não coincide com o item (a)).

Passo 6

Calculando (z2z3)^2 e z2^2z3^2:
z2z3=(1-i)(-1-i)=-2 com , então
Arg=-piequivpi.
(z2z3)^2=(-2)^2=4logo z2^2=(raiz2e^-ipi/4)^2=2e^-ipi/2, z3^2=(raiz2e^-i3pi/4)^2=2e^-i3pi/2=2e^ipi/2,. Assim z2^2z3^2=4e^0=4.

Passo 7

Calculando (z1z3)^2 e z1^iz3^i:
z1z3=(1+i)(-1-i)=-2i com , então
Arg=-pi/2.
Para a exponenciação,
(z1z3)^2=(-2i)^2=-4e já sabemos z3^i=e^i(lnraiz2-i3pi/4)=e^3pi/4e^ilnraiz2,, logo
z1^i=e^-pi/4e^ilnraiz2

Passo 8

Portanto z1^iz3^i=e^pi/2+iln2neq-4.

Resposta

(a) (z1z2)^2=4.
(b) z1^iz2^i=e^iln2=2^i, não coincide com 4.
© (z2z3)^2=4.
(d) z2^2z3^2=4, igual ao item ©.
(e) (z1z3)^2=-4.
(f) z1^iz3^i=e^pi/2+iln2, não coincide com -4.

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