Calcule usando as propriedades estudadas.
lim x 1 x^3-1raizx-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1 x^3 - 1raizx - 1. O conteúdo envolvido é cálculo de limites com forma indeterminada 0/0, e vamos precisar usar técnicas de fatoração e racionalização para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Ao substituir x = 1 diretamente, o numerador e o denominador ficam ambos zero, gerando a forma indeterminada 0/0. Isso indica que precisamos manipular a expressão algébrica antes de avaliar o limite.

Passo 3

Fatoramos o numerador usando a identidade de diferença de cubos: x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1). Assim,
x^3 - 1raizx - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)raizx - 1

Passo 4

Reconhecemos que x - 1 pode ser escrito em função de raizx - 1 ao usar a diferença de quadrados:
x - 1 = (raizx)^2 - 1 = (raizx - 1)(raizx + 1)

Passo 5

Substituindo essa fatoração na expressão, obtemos
(raizx - 1)(raizx + 1)(x^2 + x + 1)raizx - 1

Passo 6

Agora podemos cancelar o fator raizx - 1 no numerador e denominador, resultando em
raizx + 1l(x^2 + x + 1r)

Passo 7

Com a expressão simplificada, basta substituir x = 1 sem gerar indeterminação: raiz1 + 1 = 2 e 1^2 + 1 + 1 = 3.

Resposta

6

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