Calcule usando as propriedades estudadas.
lim x -2 x^3+8raizx+2

Passo 1

A questão pede para calcular
lim _{x \rightarrow -2} \frac{x^{3}+8}{\sqrt{x+2}} usando propriedades de limites, fatoração e simplificação de expressões. Vamos precisar reconhecer indeterminações do tipo 0/0 e usar a fatoração de soma de cubos.

Passo 2

Primeiro, testamos a substituição direta de x = -2: o numerador fica (-2)^3 + 8 = -8 + 8 = 0 e o denominador fica raiz-2 + 2 = raiz0 = 0. Então temos uma indeterminação 0/0, o que exige manipulação algébrica.

Passo 3

Usamos a fatoração de soma de cubos para o numerador:
x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)

Passo 4

Substituímos no limite:
x^3 + 8raizx+2 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)raizx+2
Como, perto de x = -2, temos x+2 >= 0, podemos simplificar
x+2raizx+2 = raizx+2

Passo 5

Após a simplificação, o limite vira
limx to -2 raizx+2,(x^2 - 2x + 4)
Agora podemos substituir diretamente x = -2 sem gerar indeterminação.

Passo 6

Substituindo x = -2: temos raiz-2+2 = 0 e (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12. Logo o produto é 0 cdot 12 = 0.

Resposta

0

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