Calcule usando as propriedades estudadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
com
. O conteúdo principal aqui é limites que resultam em forma indeterminada
e vamos precisar usar a técnica de racionalização de radicais para simplificar.
Passo 2
Primeiro, note que ao substituir
diretamente temos tanto o numerador quanto o denominador iguais a zero, isto é, forma indeterminada
. Isso indica que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 3
Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela sua conjugada
:
$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x2-a2}} ;=; \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{(x-a)(x+a)}} ;\times; \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}
= \frac{x-a}{\sqrt{(x-a)(x+a)}\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{a}\bigr)}
\frac{(\sqrt{x-a})^2}{\sqrt{x-a},\sqrt{x+a},(\sqrt{x}+\sqrt{a})}
= \frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a},(\sqrt{x}+\sqrt{a})}$$
Passo 4
Por fim, ao deixar
, a parte
tende a zero enquanto
tende a
, que é finita e não nula. Logo, o valor do limite é zero.
Resposta
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