Calcule usando as propriedades estudadas.
lim x a raizx-raizaraizx^2-a^2(a>0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto araizx-raizaraizx^2-a^2 com a>0. O conteúdo principal aqui é limites que resultam em forma indeterminada 0/0 e vamos precisar usar a técnica de racionalização de radicais para simplificar.

Passo 2

Primeiro, note que ao substituir x=a diretamente temos tanto o numerador quanto o denominador iguais a zero, isto é, forma indeterminada 0/0. Isso indica que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela sua conjugada raizx+raiza:
$$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x2-a2}} ;=; \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{(x-a)(x+a)}} ;\times; \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}
= \frac{x-a}{\sqrt{(x-a)(x+a)}\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{a}\bigr)} raizx-raizaraizx^2-a^2 ;=; raizx-raizaraiz(x-a)(x+a) ;times; raizx+raizaraizx+raiza = x-araiz(x-a)(x+a)l(raizx+raizar)é\frac{(\sqrt{x-a})^2}{\sqrt{x-a},\sqrt{x+a},(\sqrt{x}+\sqrt{a})}
= \frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x+a},(\sqrt{x}+\sqrt{a})}$$

Passo 4

Por fim, ao deixar xto a, a parte raizx-a tende a zero enquanto raizx+a,(raizx+raiza) tende a raiz2a,(2raiza), que é finita e não nula. Logo, o valor do limite é zero.

Resposta

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