Questão 4 (2,0 pontos). Cosidere a seguinte função
h(x)=lcc x^2-4x-2 & se & x<2 a x^2-b x+3 & & se 2 <= x<3 2 x-a+b & se & x >= 3
Determine a e b de forma que
lim x 2^- h(x)=lim x 2^+ h(x) e lim x 3^- h(x)=lim x 3^+ h(x)

Passo 1

A questão apresenta a função definida por partes
h(x)= x^2-4x-2,&x<2, ax^2-bx+3,&2<= x<3, 2x -a +b,&x>=3,
O objetivo é achar os valores de a e b que garantam igualdade dos limites laterais em x=2 e em x=3. Vamos usar conceitos de limite e continuidade de funções por partes.

Passo 2

Para xto2^-, simplificamos a expressão racional:
x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2(xneq2)
Logo
limxto2^-h(x)=2+2=4
Para xto2^+, usamos a segunda definição:
limxto2^+h(x)=acdot2^2-bcdot2+3=4a-2b+3
Igualando os dois resultados obtemos a equação
$$
4a-2b+3=4\quad\Longrightarrow\quad4a-2b=1.$$

Passo 3

Para xto3^-, ainda na segunda parte,
limxto3^-h(x)=acdot3^2-bcdot3+3=9a-3b+3
Para xto3^+, usamos a terceira parte:
limxto3^+h(x)=2cdot3 -a +b=6 -a +b
Igualando esses limites gera
9a-3b+3=6 -a +bLongrightarrow10a-4b=3

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
4a-2b=1, 10a-4b=3,
podemos dividir a segunda equação por 2 fazendo com que fiquem:
4a-2b=1, 5a-2b=tfrac32
Subtraindo a primeira da segunda encontra-se
a=tfrac12,
e substituindo em 4a-2b=1 segue
4cdottfrac12-2b=1 Longrightarrow 2-2b=1 Longrightarrow b=tfrac12

Resposta

a=\tfrac12\quad e\quad b=\tfrac12

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