Calcule usando as propriedades estudadas.
lim x a raizx-raiza+raizx-araizx^2-a^2(a>0)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite
limxto araizx-raiza+raizx-araizx^2-a^2,
sabendo que a>0. O conteúdo é limite de funções com radicais e vamos usar substituição ( x=a+h), fatoração de radicais e o comportamento de termos pequenos.

Passo 2

Fazendo a troca de variável x=a+h com hto0, reescrevemos numerador e denominador:
raiza+h-raiza+raizhraiz(a+h)^2-a^2 = raiza+h-raiza+raizhraiz(a+h)-a,raiz(a+h)+a = raiza+h-raiza+raizhraizh,raiz2a+h

Passo 3

Observamos que tanto numerador quanto denominador têm um fator raizh quando h é pequeno. Para separar esse fator, dividimos numerador e denominador por raizh:
raiza+h-raiza+raizhraizh,raiz2a+h = raiza+h-raizaraizh + 1raiz2a+h

Passo 4

Para avaliar o limite de raiza+h-raizaraizh quando hto0, podemos usar a expansão do radical ou a fórmula de conjugado. De fato, é conhecido que
limhto0raiza+h-raizaraizh=12raiza
Assim, o numerador da fração acima tende a 12raiza+1 quando hto0.

Passo 5

Como raiz2a+htoraiz2a quando hto0, substituímos esses limites e obtemos
limhto0raiza+h-raizaraizh + 1raiz2a+h = 12raiza+1raiz2a
Simplificando a soma no numerador:
12raiza+1=1+2raiza2raiza

Passo 6

Então o limite final é
tfrac1+2raiza2raizaraiz2a = 1+2raiza2raiza,raiz2a
Mas, ao conferir o comportamento mais direto (sem somar termos que tendem a constantes diferentes), vemos que o termo dominante no numerador era raizh, gerando limite
1/raiz2a.

Resposta

1raiz2a

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