Calcule usando as propriedades estudadas.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular o limite
sabendo que
. O conteúdo é limite de funções com radicais e vamos usar substituição (
), fatoração de radicais e o comportamento de termos pequenos.
Passo 2
Fazendo a troca de variável
com
, reescrevemos numerador e denominador:
Passo 3
Observamos que tanto numerador quanto denominador têm um fator
quando
é pequeno. Para separar esse fator, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 4
Para avaliar o limite de
quando
, podemos usar a expansão do radical ou a fórmula de conjugado. De fato, é conhecido que
Assim, o numerador da fração acima tende a
quando
.
Passo 5
Como
quando
, substituímos esses limites e obtemos
Simplificando a soma no numerador:
Passo 6
Então o limite final é
Mas, ao conferir o comportamento mais direto (sem somar termos que tendem a constantes diferentes), vemos que o termo dominante no numerador era
, gerando limite
.