Determine o intervalo máximo em que o problema de valor inicial
tem solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial bem legal. O enunciado nos dá a seguinte equação:
com as condições iniciais $ y(1) = y_0 $ e $ y’(1) = y_1 $. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior intervalo de valores de $ x $ onde essa equação tem uma solução. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e as condições para que elas tenham soluções únicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial de segunda ordem como essa tem a forma geral:
Para que a solução exista e seja única em um intervalo, as funções $ P(x) $, $ Q(x) $, $ R(x) $ e $ S(x) $ precisam ser contínuas nesse intervalo. Além disso, $ P(x) $ não pode ser zero, porque ele é o coeficiente de $ y’’ $, o que torna a equação não singular.
Passo 3
Vamos identificar as funções na nossa equação:
- $ P(x) = x^{2} - 4 $
- $ Q(x) = 1 $
- $ R(x) = \sin(x) $
- $ S(x) = \frac{e^{x}}{x} $
Agora, precisamos verificar onde essas funções são contínuas e onde $ P(x) $ não é zero.
Passo 4
Primeiro, $ P(x) = x^{2} - 4 $ é contínua para todo $ x $, mas ela se anula quando $ x^{2} - 4 = 0 $, ou seja, quando $ x = 2 $ ou $ x = -2 $. Nesses pontos, a equação se torna singular, então precisamos excluir $ x = 2 $ e $ x = -2 $ do nosso intervalo.
Passo 5
Em seguida, a função $ S(x) = \frac{e^{x}}{x} $ é contínua exceto quando $ x = 0 $, porque não podemos dividir por zero. Então também precisamos excluir $ x = 0 $ do intervalo.
Passo 6
Como as condições iniciais são dadas em $ x = 1 $, precisamos encontrar o maior intervalo que contenha $ x = 1 $ e que não inclua os pontos onde a equação se torna singular ($ x = -2 $, $ x = 0 $, $ x = 2 $).
Passo 7
O intervalo que satisfaz essas condições é $ ( -2, 2 ) $. Esse intervalo inclui $ x = 1 $ e exclui os pontos problemáticos $ x = -2 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Resposta
O intervalo máximo onde o problema de valor inicial tem solução é $ (-2,\ 2) $.