Calcule, usando as propriedades, os limites abaixo:
\lim _{z \rightarrow i} \frac{z^{3}-1}{z+i}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{z\rightarrow i}\frac{z^{3}-1}{z+i}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{a variável } z \text{ é complexa},áé
\text{o numerador é } z^{3}-1,é
\text{o denominador é } z+i,é
e o ponto de aproximação é z=i. Note que, avaliando o denominador em z=i, obtemos i+i=2i, que não é zero ( 2i\neq0).

Passo 2

Propriedade que vamos usar (explicada de forma simples): polinômios e quocientes de polinômios são funções contínuas onde o denominador não é zero. Para limites complexos vale o mesmo que para reais: se f e g são funções contínuas em c e g\text{(c)}\neq0, então
\lim_{z\to c}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f\text{(c)}}{g\text{(c)}}.
Aqui f(z)=z^{3}-1 e g(z)=z+i são contínuas e g(i)=2i\neq0. Então podemos obter o limite apenas substituindo z=i nas funções.

Passo 3

Aplicando a propriedade de continuidade, calculamos
\lim_{z\rightarrow i}\frac{z^{3}-1}{z+i}=\frac{i^{3}-1}{i+i}.
Agora vamos calcular numerador e denominador separadamente, passo a passo.

Passo 4

Lembrete sobre potências de \,i: por definição \,i^{2}=-1. A partir disso,
i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i.
(Dica rápida: i^{4}=1, e as potências de i repetem o ciclo i, -1, -i, 1.)

Passo 5

Calculemos o numerador substituindo i^{3}:
i^{3}-1 = -i - 1 = -(1+i).

Passo 6

Calculemos o denominador:
i+i = 2i.

Passo 7

Formamos a fração e simplificamos:
\frac{i^{3}-1}{i+i}=\frac{-\,(1+i)}{2i}=-\frac{1+i}{2i}.
Para simplificar \frac{1+i}{i} podemos usar \frac{1+i}{i}=\frac{1}{i}+\frac{i}{i}=-i+1=1-i. Assim,
-\frac{1+i}{2i}=-\frac{1-i}{2}=\frac{i-1}{2}.
(Observação: outra forma equivalente é multiplicar numerador e denominador por -i ou pelo conjugado para obter o mesmo resultado em forma a+bi.)

Resposta

\dfrac{i-1}{2}

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