Calcule usando as propriedades dos limites:
lim x 4 4-xraizraiz[3]2 x+2-2

Passo 1

O enunciado pede
limxto 44 - xraizraiz[3]2x+2;-;2
Quando xto4 tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, ou seja, é uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar racionalização de denominador e depois a fórmula da diferença de cubos.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizraiz[3]2x+2-2, que é raizraiz[3]2x+2+2. Assim,
4 - xraizraiz[3]2x+2-2 = (4 - x)l(raizraiz[3]2x+2+2r) l(raizraiz[3]2x+2-2r)l(raizraiz[3]2x+2+2r)

Passo 3

No denominador usamos (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=raizraiz[3]2x+2 e b=2:
(raizraiz[3]2x+2-2)(raizraiz[3]2x+2+2) = l(raiz[3]2x+2r) - 4 = raiz[3]2x - 2
Logo a expressão vira
4 - xraizraiz[3]2x+2-2 = (4 - x)l(raizraiz[3]2x+2+2r)raiz[3]2x - 2

Passo 4

Agora simplificamos raiz[3]2x-2 usando a diferença de cubos
a^3 - b^3 = (a-b)l(a^2 + ab + b^2r),
com a=raiz[3]2x e b=2. Temos
raiz[3]2x-2 = (raiz[3]2x)^3 - 2^3(raiz[3]2x)^2 + 2raiz[3]2x + 2^2 = 2x - 8(raiz[3]2x)^2 + 2raiz[3]2x + 4 = 2(x-4)(raiz[3]2x)^2 + 2raiz[3]2x + 4
Substituindo em
dfrac4 - xraiz[3]2x-2
obtemos
4 - x2(x-4)(raiz[3]2x)^2 + 2raiz[3]2x + 4 = -( tfrac(raiz[3]2x)^2 + 2raiz[3]2x + 42 )
Portanto
4 - xraizraiz[3]2x+2-2 = -(raiz[3]2x)^2 + 2raiz[3]2x + 42,l(raizraiz[3]2x+2+2r)

Passo 5

A nova expressão é contínua em x=4, então basta substituir x=4:
raiz[3]2cdot4=2 e raiz2+2=2. Logo
limxto4 4 - xraizraiz[3]2x+2-2 = -(2)^2 + 2cdot2 + 42,(2 + 2) = -4+4+42cdot4 = -122cdot4 = -6cdot4 = -24

Resposta

-24

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