Determine o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y, z)=x ln (y-z)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do campo gradiente da função
f(x,y,z)=xln(y-z)
O gradiente é o vetor das derivadas parciais de f:
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)
Para resolver, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Calcular partial fpartial x:
Tratando y e z como constantes, temos
partialpartial xl[xln(y-z)r] =ln(y-z)cdotpartial xpartial x =ln(y-z)

Passo 3

Calcular partial fpartial y:
Aqui x é constante e derivamos ln(y-z) pela regra da cadeia:
partialpartial yl[xln(y-z)r] =xcdot1y-zcdotpartial(y-z)partial y =xcdot1y-zcdot1 =xy-z

Passo 4

Calcular partial fpartial z:
Semelhante ao caso anterior, mas partial(y-z)/partial z=-1:
partialpartial zl[xln(y-z)r] =xcdot1y-zcdot(-1) =-xy-z

Passo 5

Agora reunimos as três componentes para obter o gradiente:
nabla f(x,y,z) =l(ln(y-z),,xy-z,,-xy-zr)

Resposta

nabla f(x,y,z) =(ln(y-z),,xy-z,,-xy-z)

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