Calcule, usando regras de derivação, a derivada da função \ln \left|5 x^{2}-5 x-5\right|+5 x+5

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl|5x^{2}-5x-5\bigr|+5x+5.
O conteúdo é aplicação das regras de derivação: derivada de \ln|u(x)| e derivada de função polinomial.

Passo 2

Defina u(x)=5x^{2}-5x-5. Pela regra
\frac{d}{dx}\ln\bigl|u(x)\bigr|=\frac{u'(x)}{u(x)},
temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}-5x-5\bigr)=10x-5
e portanto
\frac{d}{dx}\ln\bigl|5x^{2}-5x-5\bigr|=\frac{10x-5}{5x^{2}-5x-5}.

Passo 3

A derivada de 5x+5 é
\frac{d}{dx}(5x+5)=5.

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
f'(x)=\frac{10x-5}{5x^{2}-5x-5}+5.

Passo 5

Para simplificar, fatoramos 5 no numerador e no denominador da fração:
\frac{10x-5}{5x^{2}-5x-5} =\frac{5(2x-1)}{5\bigl(x^{2}-x-1\bigr)} =\frac{2x-1}{x^{2}-x-1}.
Logo,
f'(x)=\frac{2x-1}{x^{2}-x-1}+5 =\frac{2x-1+5(x^{2}-x-1)}{x^{2}-x-1} =\frac{5x^{2}-3x-6}{x^{2}-x-1}.

Resposta

f'(x)=\frac{5x^{2}-3x-6}{x^{2}-x-1}.

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