Calcule \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{7 x^{2}+x-3}}{-4 x+7}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{7x^{2}+x-3}}{-4x+7}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite no infinito de uma expressão que tem uma raiz quadrada de um polinômio de grau 2 no numerador e um polinômio de grau 1 no denominador. Para resolver, vamos usar fatoração do termo dominante em x e propriedades de limites.

Passo 2

Extraímos x^{2} debaixo da raiz para escriturar o numerador em função de x:
\sqrt{7x^{2}+x-3} =\sqrt{x^{2}\Bigl(7+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}\Bigr)} =|x|\;\sqrt{7+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}}.
Como estamos estudando x\to\infty, temos x>0, logo |x|=x. Portanto
\sqrt{7x^{2}+x-3} =x\,\sqrt{7+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}}.

Passo 3

Reescrevemos o denominador e substituímos no quociente:
-4x+7 =x\Bigl(-4+\frac{7}{x}\Bigr).
Assim
\frac{\sqrt{7x^{2}+x-3}}{-4x+7} =\frac{x\,\sqrt{7+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}}} {x\bigl(-4+\frac{7}{x}\bigr)} =\frac{\sqrt{7+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}}} {-4+\frac{7}{x}}.

Passo 4

Aplicamos o limite separando numerador e denominador:
\lim_{x\to\infty}\sqrt{7+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}} =\sqrt{7+0-0}=\sqrt{7}, \qquad \lim_{x\to\infty}\Bigl(-4+\frac{7}{x}\Bigr) =-4+0=-4.
Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{7+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^{2}}}} {-4+\frac{7}{x}} =\frac{\sqrt{7}}{-4} =-\frac{\sqrt{7}}{4}.

Resposta

-\frac{\sqrt{7}}{4}.

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