Determine os pontos onde a função f(x)=\frac{3 x}{2 x^{2}+1} é DECRESCENTE.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
f(x)=\frac{3x}{2x^{2}+1}
é decrescente. O conteúdo necessário é o estudo de monotonicidade via derivada: calculamos f'(x) e investigamos onde f'(x)<0.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente. Para
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad u(x)=3x,\;v(x)=2x^{2}+1,
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x):
u'(x)=3,\qquad v'(x)=4x.
Então
f'(x) =\frac{3\,(2x^{2}+1)-3x\,(4x)}{(2x^{2}+1)^{2}} =\frac{6x^{2}+3-12x^{2}}{(2x^{2}+1)^{2}} =\frac{3-6x^{2}}{(2x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Para estudar o sinal de f'(x), note que (2x^{2}+1)^{2}>0 para todo x. Logo o sinal de f'(x) é dado por
3-6x^{2}<0 \;\Longleftrightarrow\; 1-2x^{2}<0 \;\Longleftrightarrow\; x^{2}>\tfrac12 \;\Longleftrightarrow\; |x|>\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Concluímos que f'(x)<0 exatamente quando |x|>\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Portanto a função é decrescente nos intervalos
\bigl(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\infty\bigr).

Resposta

A função f(x) é decrescente em
(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{2}})\cup(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\infty).

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