Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função (x+1) \sqrt{4 x^{2}+4 x+1} em x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da função
\displaystyle f(x) = (x+1)\sqrt{4x^2+4x+1}
no ponto x_0=0.
Para isso precisamos de (i) f(0) e (ii) a derivada f'(x) avaliada em x=0, pois a reta tangente em x_0 é
y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0).

Passo 2

Observamos que
4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2,
então
\sqrt{4x^2+4x+1} = \lvert 2x+1\rvert.
Como em x_0=0 temos 2\cdot0+1=1>0, vale \lvert2x+1\rvert=2x+1 num entorno de 0. Logo,
f(x) = (x+1)\,(2x+1) \quad\Longrightarrow\quad f(x)=2x^2+3x+1.

Passo 3

Da expressão polinomial f(x)=2x^2+3x+1 segue
f(0)=1,
e
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2x^2+3x+1\bigr) = 4x+3 \quad\Longrightarrow\quad f'(0)=3.

Passo 4

Substituindo em
y - f(0) = f'(0)\,(x - 0)
temos
y - 1 = 3x \quad\Longrightarrow\quad y = 3x + 1.

Resposta

A reta tangente em x_0=0 é
y = 3x + 1.

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