Calcule, usando resíduos
integral0^2 pi cos (e^i t) d t,

Passo 1

Vamos calcular a integral
Iremos usar o método de integrais de contorno e o Teorema dos Resíduos para avaliar
I = integral0^2pi cosl(e^itr),dt

Passo 2

Primeiro, fazemos a mudança de variável padrão para integrais em |z|=1:
Precisamos da substituição
z = e^it,
que implica
dz = i e^it,dt = i z,dt Rightarrow dt = dzi z
Com isso, quando t vai de 0 a 2pi, z percorre o contorno |z|=1 no sentido anti-horário. A integral torna-se
I = integral|z|=1 cos(z),dzi z = 1ioint|z|=1 cos(z)z,dz

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema dos Resíduos:
A função f(z)=cos(z)z é meromorfa e tem um único polo simples dentro de |z|<1, que é em z=0. Segundo o Teorema dos Resíduos,
oint|z|=1 cos(z)z ,dz = 2pi i ;Resl(cos(z)z,0r)

Passo 4

Precisamos achar a parte de ordem z^-1 na expansão em série de Laurent de cos(z)/z em torno de z=0. Recordando a expansão de Maclaurin:
cos(z)=sumn=0^infty(-1)^nz^2n(2n)!=1 - z^22!+z^44!-cdots
Dividindo por z,
cos(z)z = 1z - z2! + z^34! - cdots
O resíduo em z=0 é o coeficiente de 1/z, que vale 1.

Passo 5

Logo,
oint|z|=1 cos(z)z ,dz = 2pi i times 1 = 2pi i
Voltando à integral original,
I = 1i cdot (2pi i) = 2pi

Passo 6

Concluímos que o valor da integral é

Resposta

2\pi

Exercícios relacionados