Calcule, usando resíduos
,
Passo 1
Vamos calcular a integral
Iremos usar o método de integrais de contorno e o Teorema dos Resíduos para avaliar
Passo 2
Primeiro, fazemos a mudança de variável padrão para integrais em
:
Precisamos da substituição
que implica
Com isso, quando
vai de 0 a
,
percorre o contorno
no sentido anti-horário. A integral torna-se
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema dos Resíduos:
A função
é meromorfa e tem um único polo simples dentro de
, que é em
. Segundo o Teorema dos Resíduos,
Passo 4
Precisamos achar a parte de ordem
na expansão em série de Laurent de
em torno de
. Recordando a expansão de Maclaurin:
Dividindo por
,
O resíduo em
é o coeficiente de
, que vale 1.
Passo 5
Logo,
Voltando à integral original,
Passo 6
Concluímos que o valor da integral é
Resposta
2\pi