Calcule, usando o teorema dos resíduos, os integrais reais
integral-infty^infty d xx^6+1,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral-infty^infty dxx^6 + 1 usando o Teorema dos Resíduos. Vamos precisar reconhecer que é uma integral de função racional no eixo real e aplicar contorno semicircular no semiplano superior, encontrando as raízes de x^6+1=0 e somando os resíduos das que estiverem no semiplano superior.

Passo 2

Identificamos as raízes da equação x^6 + 1 = 0. Elas são dadas por xk = e^i(pi/6 + kpi/3), para k=0,1,2,3,4,5. São as 6 raízes da unidade de ordem 12 que satisfazem x^6=-1.

Passo 3

Selecionamos as raízes que estão no semiplano superior (imaginário positivo): são z0=e^ipi/6, z1=e^ipi/2=i e z2=e^i5pi/6.

Passo 4

Para cada polo simples zk calculamos o resíduo de f(z)=1/(z^6+1) pela fórmula Res(f,zk)=limzto zk(z-zk)f(z)=1/(6zk^5).

Passo 5

Somamos esses resíduos:
sumk=0^2 16zk^5 =16(e^-i5pi/6+e^-i5pi/2+e^-i25pi/6) =-2i6=-i3

Passo 6

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral no contorno fechando no semiplano superior vale 2pi i vezes essa soma. Ou seja:
integral-infty^infty dxx^6+1 =2pi i(-i3) =2pi3

Resposta

\displaystyle\frac{2\pi}{3}

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