Calcule, usando o teorema dos resíduos, os integrais reais
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
usando o Teorema dos Resíduos. Vamos precisar reconhecer que é uma integral de função racional no eixo real e aplicar contorno semicircular no semiplano superior, encontrando as raízes de
e somando os resíduos das que estiverem no semiplano superior.
Passo 2
Identificamos as raízes da equação
. Elas são dadas por
, para
. São as 6 raízes da unidade de ordem 12 que satisfazem
.
Passo 3
Selecionamos as raízes que estão no semiplano superior (imaginário positivo): são
,
e
.
Passo 4
Para cada polo simples
calculamos o resíduo de
pela fórmula
.
Passo 5
Somamos esses resíduos:
Passo 6
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral no contorno fechando no semiplano superior vale
vezes essa soma. Ou seja:
Resposta
\displaystyle\frac{2\pi}{3}