Determine as singularidades (lugar e tipo) para as funções seguintes:
,
Passo 1
Estamos analisando a função
. O objetivo é identificar todos os pontos onde ela falha em ser analítica (singularidades) e classificar cada uma (polo, essencial, etc.). Vamos usar o conceito de zeros do denominador e a definição de polo isolado.
Passo 2
Para achar onde
deixa de ser analítica, olhamos o denominador
. A condição
leva a
. Logo, esse é o único ponto potencial de singularidade.
Passo 3
Precisamos agora verificar que
é uma singularidade isolada. Observamos que em torno de
, em qualquer disco puncturado (isto é, excluindo
do interior),
é analítica, pois o único problema era o denominador zerar exatamente em
.
Passo 4
Para classificar o tipo de singularidade em
, reescrevemos
de forma a evidenciar termos em potências de
:
Vemos que há um termo
que tem ordem 1 em
, enquanto o resto é analítico. Isso caracteriza um polo de ordem 1, ou simplesmente um polo simples.
Passo 5
Portanto, concluímos que a única singularidade de
é em
, e trata-se de um polo simples.
Resposta
A única singularidade é em
, e é um polo simples.