Determine as singularidades (lugar e tipo) para as funções seguintes:
zz+2,

Passo 1

Estamos analisando a função f(z)=dfraczz+2. O objetivo é identificar todos os pontos onde ela falha em ser analítica (singularidades) e classificar cada uma (polo, essencial, etc.). Vamos usar o conceito de zeros do denominador e a definição de polo isolado.

Passo 2

Para achar onde f deixa de ser analítica, olhamos o denominador z+2. A condição z+2=0 leva a z=-2. Logo, esse é o único ponto potencial de singularidade.

Passo 3

Precisamos agora verificar que z=-2 é uma singularidade isolada. Observamos que em torno de z=-2, em qualquer disco puncturado (isto é, excluindo z=-2 do interior), f(z) é analítica, pois o único problema era o denominador zerar exatamente em z=-2.

Passo 4

Para classificar o tipo de singularidade em z=-2, reescrevemos f de forma a evidenciar termos em potências de (z+2):
f(z)=zz+2=(z+2)-2z+2=1-2z+2
Vemos que há um termo -2/(z+2) que tem ordem 1 em (z+2), enquanto o resto é analítico. Isso caracteriza um polo de ordem 1, ou simplesmente um polo simples.

Passo 5

Portanto, concluímos que a única singularidade de f(z) é em z=-2, e trata-se de um polo simples.

Resposta

A única singularidade é em z=-2, e é um polo simples.

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