Determine as singularidades (lugar e tipo) para as funções seguintes:
z^4+18 z^2+94 z(z^2+9),

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as singularidades (lugares e tipos) da função f(z)=z^4+18z^2+94z,(z^2+9). O assunto é classificação de singularidades de funções racionais e vamos precisar fatorar o denominador, achar suas raízes e verificar se há cancelamento com o numerador.

Passo 2

Primeiro identificamos as raízes do denominador. Temos
4z,(z^2+9)=0
que dá as equações
z=0e z^2+9=0implies z=3i,,-3i

Passo 3

Em seguida, precisamos checar se o numerador
z^4+18z^2+9
anula-se em alguma dessas raízes, para ver se há cancelamento (o que tornaria a singularidade removível).

Passo 4

Avaliando em cada ponto:
z=0:;0^4+18cdot0^2+9=9neq0,
z=3i:;(3i)^4+18(3i)^2+9=81-162+9=-72neq0,
z=-3i:;(-3i)^4+18(-3i)^2+9=81-162+9=-72neq0

Passo 5

Como o numerador não se anula em nenhum desses pontos, não há cancelamento de fatores. Cada raiz do denominador é simples (multiplicidade 1) e sem cancelamento, portanto cada singularidade é um polo simples.

Resposta

As singularidades são z=0, z=3i e z=−3i, todas polos simples.

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