(a) Encontre a soma parcial
da série
e estime o erro ao usá-la como uma aproximação para a soma da série.
Passo 1
O enunciado pede a soma parcial até n=5 da série
e uma estimativa do erro ao usar essa soma como aproximação da soma total. Isso envolve reconhecer que temos uma p-série com
(logo converge) e usar o teste da integral para estimar o resto.
Passo 2
Para calcular
, somamos explicitamente os cinco primeiros termos:
Agora fazemos a conta numérica:
Somando essas parcelas:
Passo 3
Para estimar o erro (o resto
), usamos o teste da integral. Como a função
é contínua, positiva e decrescente para
, valem as desigualdades
Calculamos a integral geral:
Substituindo
para o limite superior de
:
Resposta
s_5 \approx 1{,}017304883 e o erro ao usá-la como aproximação satisfaz R_5 \le 1/15625 \approx 6,4\times10^{-5}.