(a) Encontre a soma parcial s5 da série sumn=1^infty 1 / n^6 e estime o erro ao usá-la como uma aproximação para a soma da série.

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial até n=5 da série sumn=1^infty 1n^6 e uma estimativa do erro ao usar essa soma como aproximação da soma total. Isso envolve reconhecer que temos uma p-série com p=6>1 (logo converge) e usar o teste da integral para estimar o resto.

Passo 2

Para calcular s5, somamos explicitamente os cinco primeiros termos:
s5 = sumn=1^5 1n^6 = 1 + 12^6 + 13^6 + 14^6 + 15^6
Agora fazemos a conta numérica:
1 = 1, 12^6=0,015625, 13^6approx0,001371742, 14^6approx0,000244141, 15^6=0,000064
Somando essas parcelas:
s5 approx 1 + 0,015625 + 0,001371742 + 0,000244141 + 0,000064 = 1,017304883

Passo 3

Para estimar o erro (o resto R5=sumn=6^infty1/n^6), usamos o teste da integral. Como a função f(x)=x^-6 é contínua, positiva e decrescente para x>=1, valem as desigualdades
integral6^infty x^-6,dx <= R5 <= integral5^infty x^-6,dx
Calculamos a integral geral:
integralN^infty x^-6,dx = [x^-5-5]N^infty = 15,N^5
Substituindo N=5 para o limite superior de R5:
R5 <= 15cdot 5^5 = 115625 approx 0,000064

Resposta

s_5 \approx 1{,}017304883 e o erro ao usá-la como aproximação satisfaz R_5 \le 1/15625 \approx 6,4\times10^{-5}.

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