Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 3+e^4 xe^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral indefinida:
integral 3 + e^4xe^4x , dx
Essa é uma questão de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais indefinidas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão da fração e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Temos:
3 + e^4xe^4x
Podemos dividir cada termo do numerador por $ e^{4x} $:
e^4x
Então, a integral fica:
3e^4x + e^4xe^4x = 3e^-4x + 1

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral 3e^-4x , dx + integral 1 , dx
Isso funciona porque a integral da soma é igual à soma das integrais.

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
integral 3e^-4x , dx
A constante 3 pode ser fatorada para fora da integral:
3 integral e^-4x , dx
A integral de $ e^{ax} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{a} e^{ax} + C $, onde $ a $ é uma constante. Aqui, $ a = -4 $:
e^ax
Segunda parte:
x
A integral de 1 em relação a $ x $ é simplesmente $ x $:
1a e^ax + C

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes integradas:
-34 e^-4x + x + C
Onde $ C $ é a constante de integração que aparece em integrais indefinidas.

Resposta

A integral indefinida é:
-34 e^-4x + x + C

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