Calcule usando substituição trigonométrica:
integral x^3 raiza^2+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^3raiza^2+x^2,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é identificar a substituição que transforma a raiz raiza^2+x^2 numa expressão trigonométrica mais simples e depois reverter para a variável x. Vamos precisar lembrar que para raiza^2+x^2 a escolha clássica é x=atantheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x=atantheta:
x=atantheta,
dx=asec^2theta,dtheta,
raiza^2+x^2=raiza^2+a^2tan^2theta=asectheta
Com isso, a integral vira em theta:
integral x^3raiza^2+x^2,dx =integral l(atanthetar)^3cdotl(asecthetar)cdotl(asec^2theta,dthetar)

Passo 3

Agora simplificamos a expressão dentro da integral:
(atantheta)^3=a^3tan^3theta,
asecthetatimes asec^2theta=a^2sec^3theta,
então
integral x^3raiza^2+x^2,dx =integral a^3tan^3thetatimes a^2sec^3theta,dtheta =a^5integral tan^3theta,sec^3theta,dtheta

Passo 4

Para integrar tan^3thetasec^3theta, escrevemos tan^3theta=tantheta(sec^2theta-1). Assim:
tan^3thetasec^3theta=tantheta(sec^2theta-1)sec^3theta =tanthetasec^5theta-tanthetasec^3theta
Então
a^5integral tan^3thetasec^3theta,dtheta =a^5l(integral tanthetasec^5theta,dtheta-integral tanthetasec^3theta,dthetar)

Passo 5

Agora usamos a substituição auxiliar u=sectheta, logo du=secthetatantheta,dtheta. Então:
integral tanthetasec^5theta,dtheta =integral sec^4theta,(secthetatantheta,dtheta) =integral u^4,du=u^55+C,
integral tanthetasec^3theta,dtheta =integral sec^2theta,(secthetatantheta,dtheta) =integral u^2,du=u^33+C
Substituindo de volta em a^5(cdots):
a^5l(u^55-u^33r) =a^5l(sec^5theta5-sec^3theta3r)+C

Passo 6

Por fim, voltamos para x lembrando que sectheta=raiza^2+x^2a. Assim:
sec^5theta=l(raiza^2+x^2ar)^5= rac(a^2+x^2)^5/2a^5,
sec^3theta=(a^2+x^2)^3/2a^3
Multiplicando por a^5 obtemos:
integral x^3raiza^2+x^2,dx =(a^2+x^2)^5/25-a^2(a^2+x^2)^3/23+C

Resposta

(a^2+x^2)^5/25-a^2(a^2+x^2)^3/23+C

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