Determine a massa de uma região sólida V definida por x^2+y^2+z^2 <= 1, com densidade de.

Passo 1

Beleza, a gente tem que descobrir a massa de uma região sólida $ V $ que é uma esfera de raio 1, já que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. A densidade nessa região é dada por $ \delta(x, y, z) = x^{2} + y^{2} $. Para resolver isso, vamos usar a integração tripla para calcular a massa, considerando a densidade fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a massa $ M $ de uma região sólida é calculada pela integral tripla da densidade sobre o volume $ V $:
M
No nosso caso, isso fica:
V

Passo 3

Como a região $ V $ é uma esfera, é mais fácil resolver isso usando coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas:
V
E o elemento de volume $ dV $ é:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
Além disso, como a esfera tem raio 1, $ \rho $ varia de 0 a 1, $ \phi $ de 0 a $ \pi $ e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.

Passo 4

Vamos agora expressar $ x^{2} + y^{2} $ em coordenadas esféricas:
x^2 + y^2
Então, a integral para a massa fica:
x^2 + y^2 = rho^2 sin^2 phi (cos^2 theta + sin^2 theta) = rho^2 sin^2 phi
Simplificando:
M = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 rho^2 sin^2 phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em $ \rho $ primeiro:
rho
Então, agora a integral fica:
integral0^1 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^1 = 15

Passo 6

Resolveremos a integral em $ \phi $ agora. Sabemos que:
phi
Então:
integral sin^3 phi , dphi = 43
Atualizando nossa expressão:
integral0^pi sin^3 phi , dphi = 43

Passo 7

Por fim, a integral em $ \theta $ é:
theta
Portanto:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

A massa da região sólida $ V $ é $ \frac{8\pi}{15} $.

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