Determine a massa de uma região sólida
definida por
, com densidade
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que descobrir a massa de uma região sólida $ V $ que é uma esfera de raio 1, já que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. A densidade nessa região é dada por $ \delta(x, y, z) = x^{2} + y^{2} $. Para resolver isso, vamos usar a integração tripla para calcular a massa, considerando a densidade fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a massa $ M $ de uma região sólida é calculada pela integral tripla da densidade sobre o volume $ V $:
No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Como a região $ V $ é uma esfera, é mais fácil resolver isso usando coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas:
E o elemento de volume $ dV $ é:
Além disso, como a esfera tem raio 1, $ \rho $ varia de 0 a 1, $ \phi $ de 0 a $ \pi $ e $ \theta $ de 0 a $ 2\pi $.
Passo 4
Vamos agora expressar $ x^{2} + y^{2} $ em coordenadas esféricas:
Então, a integral para a massa fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral em $ \rho $ primeiro:
Então, agora a integral fica:
Passo 6
Resolveremos a integral em $ \phi $ agora. Sabemos que:
Então:
Atualizando nossa expressão:
Passo 7
Por fim, a integral em $ \theta $ é:
Portanto:
Resposta
A massa da região sólida $ V $ é $ \frac{8\pi}{15} $.