Use séries para avaliar as integrais e limites baixo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{1+x-e^{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{1+x-e^{x}}
usando séries de Taylor (Maclaurin) em torno de x=0. Vamos expandir \cos x e e^{x} até termos suficientes para identificar os termos de menor ordem não nulos.

Passo 2

Expandimos as funções conhecidas em torno de 0:
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \mathcal{O}(x^6),
e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \mathcal{O}(x^5).

Passo 3

Do primeiro, o numerador fica
1 - \cos x = 1 - \Bigl(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \mathcal{O}(x^6)\Bigr) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \mathcal{O}(x^6).

Passo 4

Do segundo, o denominador é
1 + x - e^{x} = 1 + x - \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \mathcal{O}(x^5)\Bigr) = -\Bigl(\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \mathcal{O}(x^5)\Bigr).

Passo 5

Agora dividimos e simplificamos o fator comum x^2/2:
\frac{1-\cos x}{1+x-e^{x}} = \frac{\frac{x^2}{2}\bigl(1 - \frac{x^2}{12} + \mathcal{O}(x^4)\bigr)} {-\frac{x^2}{2}\bigl(1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{12} + \mathcal{O}(x^3)\bigr)} = -\frac{1 - \frac{x^2}{12} + \mathcal{O}(x^4)}{1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{12} + \mathcal{O}(x^3)}.
Como x\to0, os termos em x e superiores desaparecem, restando
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{1+x-e^{x}} = -1.

Resposta

-1

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