Determine as singularidades (lugar e tipo) para as funções seguintes:
sumk=0^infty 1k!(1+i^k z)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as singularidades da função
f(z)=sumk=0^infty1k!l(1+i^k zr)
Conteúdo: análise complexa – classificação de singularidades de funções meromorfas. Vamos precisar estudar cada termo e ver onde o denominador se anula.

Passo 2

Cada parcela 1k!l(1+i^k zr) tem singularidade se e somente se
1+i^k z=0
Isso nos leva a
z=-1i^k
Portanto, as singularidades de f vêm dos zeros de 1+i^k z.

Passo 3

Como i^k é periódico de período 4, temos para kequiv0,1,2,3pmod4:
i^k=1,i,-1,-i, respectivamente. Assim:
  • se i^k=1, então z=-1;
  • se i^k=i, então z=-1/i=i;
  • se i^k=-1, então z=-1/(-1)=1;
  • se i^k=-i, então z=-1/(-i)=1/i=-i
    Logo as singularidades distintas são z=-1,,i,,1,,-i.

Passo 4

Cada termo isolado tem um polo simples (denominador linear em z), e a soma de coeficientes desses polos em cada ponto converge (série de 1/k!), de modo que em cada um desses pontos f(z) também apresenta um pólo simples.

Resposta

As únicas singularidades são os polos simples em z\in{-1,,i,,1,,-i}.

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