Calcule, SEM usar a regra de LHôpital, mesmo quando for aplicável:
lim x +infty xraiz2 x^2-5

Passo 1

Neste exercício vamos calcular o limite limxto+infty xraiz2x^2 -5. O conteúdo envolvido é avaliação de limites de funções com raízes, e precisaremos usar fatoração de termos dentro da raiz e propriedades de limites sem recorrer à regra de L’Hôpital.

Passo 2

Para xto+infty, temos x>0. Então podemos reescrever o radicando fatorando x^2:
raiz2x^2 -5 = raizx^2 l(2 - 5x^2r) = raizx^2,raiz2 - 5x^2 = x,raiz2 - 5x^2

Passo 3

Substituindo essa expressão na fração original obtemos:
xraiz2x^2 -5 = xx,raiz2 - 5x^2 = 1raiz2 - 5x^2

Passo 4

Ao tomar o limite quando xto+infty, o termo 5/x^2 tende a zero. Logo:
2 - 5x^2 to 2, raiz2 - 5x^2 to raiz2

Passo 5

Portanto, o limite desejado é dado por
1raiz2
e este é o valor final do limite.

Resposta

1/raiz2

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