Determine as constantes a e b para os quais a função f(x) seja diferenciável em R
f(x)=ll a x^3 & x<2 x^2+b & x >= 2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar constantes que façam com que a função por partes
f(x)=
a x^3, & x<2 x^2+b, & x>=2
seja diferenciável em todo R. Para isso, precisamos garantir continuidade em x=2 e que as derivadas laterais em x=2 sejam iguais.

Passo 2

Para a continuidade em x=2 igualamos os limites à esquerda e à direita:
limxto2^-f(x)=acdot2^3=8a,
limxto2^+f(x)=2^2+b=4+b
Logo, temos a relação
8a=4+b Longrightarrow b=8a-4

Passo 3

Para a diferenciabilidade em x=2, igualamos as derivadas laterais. A derivada para x<2 é
f'(x)=3a x^2 implies f'-(2)=3acdot2^2=12a,
e para x>=2 é
f'(x)=2x implies f'+(2)=2cdot2=4
Igualando-as:
12a=4 Longrightarrow a=13

Passo 4

Substituindo a=1/3 na expressão de b:
b=8l(tfrac13r)-4=tfrac83-tfrac123=-tfrac43

Resposta

a=\tfrac{1}{3},\quad b=-\tfrac{4}{3}

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