Calcule, SEM usar a regra de LHôpital, mesmo quando for aplicável:
lim x 0(sen(2 pi x)sen(3 pi x))

Passo 1

Temos que calcular o limite
limxto0sin(2pi x)sin(3pi x)
Esse problema envolve limites de funções trigonométricas e vamos usar a propriedade básica de que sin(u) se comporta como u quando uto0.

Passo 2

Para resolver, lembramos do fato fundamental:
limuto0sin(u)u=1
Isso vem da definição de derivada de sin(u) ou da expansão em série de Taylor.

Passo 3

Observando que nos argumentos temos u=2pi x no numerador e v=3pi x no denominador, reescrevemos a fração de forma a destacar quocientes do tipo sin(u)/u:
sin(2pi x)sin(3pi x) =sin(2pi x)2pi x;cdot;3pi xsin(3pi x);cdot;2pi x3pi x

Passo 4

Agora analisamos o limite de cada fator quando xto0:
  • dfracsin(2pi x)2pi xto1 pela propriedade de sin(u)/u.
  • dfrac3pi xsin(3pi x)to1 aplicando a mesma ideia a v=3pi x.
  • dfrac2pi x3pi x=dfrac2pi3pi=dfrac23 é constante.

Passo 5

Combinando tudo, o produto dos três fatores tende a
1 times 1 times 23 = 23
Portanto, o limite pedido é 2/3.

Resposta

dfrac23

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