Calcule, SEM usar a regra de LHôpital, mesmo quando for aplicável:
Passo 1
Temos que calcular o limite
Esse problema envolve limites de funções trigonométricas e vamos usar a propriedade básica de que
se comporta como
quando
.
Passo 2
Para resolver, lembramos do fato fundamental:
Isso vem da definição de derivada de
ou da expansão em série de Taylor.
Passo 3
Observando que nos argumentos temos
no numerador e
no denominador, reescrevemos a fração de forma a destacar quocientes do tipo
:
Passo 4
Agora analisamos o limite de cada fator quando
:
-
pela propriedade de . -
aplicando a mesma ideia a . -
é constante.
Passo 5
Combinando tudo, o produto dos três fatores tende a
Portanto, o limite pedido é
.