Resolva, em R, as equações exponenciais:
c) 4^x+2 cdot 14^x=3 cdot 49^x

Passo 1

Estamos resolvendo em R a equação 4^x + 2cdot 14^x = 3cdot 49^x, que envolve funções exponenciais. Vamos usar propriedades de potências para reescrever tudo em termos das mesmas bases.

Passo 2

Como 4 = 2^2, 14 = 2cdot7 e 49=7^2, temos
4^x + 2cdot 14^x = 2^2x + 2cdot (2^x,7^x) = 3cdot 7^2x
Para simplificar, seja a = 2^x e b = 7^x. A equação vira
a^2 + 2ab = 3b^2

Passo 3

Dividindo ambos os lados por b^2 (que é sempre positivo), introduzimos y = ab = l(tfrac27r)^x e obtemos a equação algébrica
y^2 + 2y - 3 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática por fórmula de Bhaskara:
y = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-3)2 = -2 pm 42,
resultando em y=1 ou y=-3. Como y=(2/7)^x>0 para todo x, descartamos y=-3 e ficamos com y=1.

Passo 5

Agora voltamos à definição de y:
l(tfrac27r)^x = 1
A única forma de um expoente produzir 1, com base positiva diferente de 1, é ter o expoente zero. Logo,
x = 0

Resposta

x = 0

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