Calcule, sem usar a Regra de LHôpital, os limites abaixo. Escolha 2 entre a), b) e c).
lim h 0 12(x+h)+1-12 x+1h

Passo 1

O enunciado pede o limite limhto012(x+h)+1-12x+1h, ou seja a diferença quociente de f(x)=12x+1. O conteúdo é derivada por definição e vamos precisar usar álgebra de frações para simplificar.

Passo 2

Calcule o numerador combinando as duas frações com denominador comum (2(x+h)+1)(2x+1):
12(x+h)+1-12x+1=2x+1 - l(2(x+h)+1r)(2(x+h)+1)(2x+1)=2x+1 - 2x -2h -1(2(x+h)+1)(2x+1)=-2h(2(x+h)+1)(2x+1)
Substituindo na diferença quociente e cancelando h:
-2h(2(x+h)+1)(2x+1)h=-2hh,(2(x+h)+1)(2x+1)=-2(2(x+h)+1)(2x+1)
Por fim, faça hto0 em 2(x+h)+1 que vira 2x+1, obtendo o resultado.
limhto0-2(2(x+h)+1)(2x+1)=-2(2x+1)^2

Resposta

-\frac{2}{(2x+1)^2}

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