Considere a seguinte funçào abaixo. Sem usar a Regra de LHôpital, faça o que se pede:
Encontre a equação de umaassintota horizontal e uma assintota vertical de f(x). Justifique.
Passo 1
A questão define uma função por partes e pede para encontrarmos uma assíntota horizontal e uma assíntota vertical de f(x). Para isso, vamos usar limites e o conceito de assíntota sem recorrer à Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Pra achar uma assíntota horizontal, lembramos que uma reta y=L é horizontal se limxtopminftyf(x)=L. Aqui, para xto+infty a parte usada é f(x)=A+|x|, que cresce sem limite, então não há assíntota horizontal em +infty. Para xto-infty usamos a definição de f(x) quando x<=1:
f(x)=raiz100x^2 - x +965x+25
Passo 3
Para xto-infty, escrevemos dentro da raiz
raiz100x^2 - x +96=|x|raiz100 - 1x + 96x^2
Como xto-infty temos |x|=-x. Então, para termos só os termos dominantes, f(x)approx -xcdot105x=-10x5x=-2
Passo 4
Logo,
limxto-inftyf(x)=-2,
e a assíntota horizontal é y=-2
Passo 5
Agora, para achar uma assíntota vertical, buscamos um ponto x0 onde f(x)topminfty. No ramo de x<=1, o denominador é zero em 5x+25=0, ou seja em x=-5, e o numerador