Considere a seguinte funçào abaixo. Sem usar a Regra de LHôpital, faça o que se pede:
f(x)=cc raiz100 x^2-x+965 x+25 & , se x <= 1 10 x^4-20 x^34 x^3+4 x^2-24 x & , se 12
Encontre a equação de umaassintota horizontal e uma assintota vertical de f(x). Justifique.

Passo 1

A questão define uma função por partes e pede para encontrarmos uma assíntota horizontal e uma assíntota vertical de f(x). Para isso, vamos usar limites e o conceito de assíntota sem recorrer à Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Pra achar uma assíntota horizontal, lembramos que uma reta y=L é horizontal se limxtopminftyf(x)=L. Aqui, para xto+infty a parte usada é f(x)=A+|x|, que cresce sem limite, então não há assíntota horizontal em +infty. Para xto-infty usamos a definição de f(x) quando x<=1:
f(x)=raiz100x^2 - x +965x+25

Passo 3

Para xto-infty, escrevemos dentro da raiz
raiz100x^2 - x +96=|x|raiz100 - 1x + 96x^2
Como xto-infty temos |x|=-x. Então, para termos só os termos dominantes,
f(x)approx -xcdot105x=-10x5x=-2

Passo 4

Logo,
limxto-inftyf(x)=-2,
e a assíntota horizontal é
y=-2

Passo 5

Agora, para achar uma assíntota vertical, buscamos um ponto x0 onde f(x)topminfty. No ramo de x<=1, o denominador é zero em 5x+25=0, ou seja em x=-5, e o numerador
raiz100(-5)^2-(-5)+96=raiz2500+5+96=raiz2601=51neq0

Passo 6

Como perto de x=-5
f(x)sim515(x+5), vemos que f(x)topminfty quando xto -5 (tanto pela esquerda quanto pela direita, dentro de x<=1). Portanto,
x=-5 é uma assíntota vertical.

Passo 7

Assim, encontramos uma assíntota horizontal e uma vertical de f(x).

Resposta

Assíntota horizontal: y=-2
Assíntota vertical: x=-5

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