Exercício 7. (Apostol seção 1.13 exercício 1) As funções
definidas abaixo definem um produto interno? Justifique.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
para
e
em
, e pergunta se isto define um produto interno. Para isso, precisamos checar as três propriedades:
. simetria (
),
. bilinearidade (linearidade em cada argumento),
. positividade definida (
para todo
).
Passo 2
Verificamos a simetria. Para um produto interno real deve valer
Aqui
Como
sempre, em geral não teremos igualdade.
Passo 3
Mostramos um contra-exemplo explícito. Seja
,
,
. Então
mas
Logo
, falhando a simetria.
Passo 4
Verificamos positividade definida. Para
deveria valer
. Porém
que pode ser zero mesmo para
. Por exemplo, em
take
, então
embora
.
Resposta
Não, pois falha a simetria e a positividade definida, logo não é produto interno.