Exercício 7. (Apostol seção 1.13 exercício 1) As funções lang<=,rang<=: R^n times R^n R definidas abaixo definem um produto interno? Justifique.
lang<=(x1, ldots, xn),(y1, ldots, yn)rang<==sumj=1^n xj|yj|.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
lang<= x,yrang<= = sumj=1^n xj,lvert yjrvert
para x=(x1,dots,xn) e y=(y1,dots,yn) em R^n, e pergunta se isto define um produto interno. Para isso, precisamos checar as três propriedades:
1. simetria ( lang<= x,yrang<= = lang<= y,xrang<=),
2. bilinearidade (linearidade em cada argumento),
3. positividade definida ( lang<= x,xrang<=>0 para todo xneq0).

Passo 2

Verificamos a simetria. Para um produto interno real deve valer
lang<= x,yrang<= = lang<= y,xrang<=
Aqui
lang<= x,yrang<= = sumj=1^n xj,lvert yjrvert e lang<= y,xrang<= = sumj=1^n yj,lvert xjrvert
Como lvert yjrvertneq yj sempre, em geral não teremos igualdade.

Passo 3

Mostramos um contra-exemplo explícito. Seja n=1, x=(1), y=(-1). Então
lang<= x,yrang<= = 1cdotlvert -1rvert = 1,
mas
lang<= y,xrang<= = (-1)cdotlvert 1rvert = -1
Logo lang<= x,yrang<=neqlang<= y,xrang<=, falhando a simetria.

Passo 4

Verificamos positividade definida. Para xneq0 deveria valer lang<= x,xrang<=>0. Porém
lang<= x,xrang<= = sumj=1^n xj,lvert xjrvert = sumj=1^n sgn(xj),xj^2,
que pode ser zero mesmo para xneq0. Por exemplo, em R^2 take x=(1,-1), então
lang<= x,xrang<= = 1cdot1 + (-1)cdot1 = 0,
embora xneq0.

Resposta

Não, pois falha a simetria e a positividade definida, logo não é produto interno.

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