Determine a natureza dos pontos críticos das funções abaixo:
f(x, y)=exp (x^2+y^2);

Passo 1

O enunciado pede a classificação dos pontos críticos de
f(x,y)=expl(x^2+y^2r)
O conteúdo envolvido é encontrar os pontos em que o gradiente some zero e usar o teste da matriz Hessiana (derivadas de segunda ordem) para determinar se é mínimo, máximo ou ponto de sela.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y)=exp(u) com u=x^2+y^2, temos
partial fpartial x = exp(u),partial upartial x = 2x,expl(x^2+y^2r),
partial fpartial y = 2y,expl(x^2+y^2r)

Passo 3

Para pontos críticos precisamos de
partial fpartial x=0 e partial fpartial y=0
Como exp(x^2+y^2)>0 para todo (x,y), as condições reduzem-se a
2x=0 e 2y=0 ;;Longrightarrow;; x=0,;y=0
Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Agora calculemos as segundas derivadas para montar a Hessiana.
fxx = partialpartial xl(2x,exp(u)r) = l(2+4x^2r)expl(x^2+y^2r),
fyy = l(2+4y^2r)expl(x^2+y^2r), fxy = partialpartial yl(2x,exp(u)r) = 4xy,expl(x^2+y^2r)

Passo 5

Avalie essas derivadas em (0,0):
fxx(0,0)=2, fyy(0,0)=2, fxy(0,0)=0
Os determinantes principais da Hessiana em (0,0) são
D1 = fxx(0,0)=2>0, D2 = det 2 & 0 0 & 2 =4>0
Como D1>0 e D2>0, a Hessiana é definida positiva, indicando um mínimo estrito em (0,0).

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e trata-se de um ponto de mínimo local (na verdade global, pois f cresce radialmente).

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