Determine a natureza dos pontos críticos das funções abaixo: ;
Passo 1
O enunciado pede a classificação dos pontos críticos de
O conteúdo envolvido é encontrar os pontos em que o gradiente some zero e usar o teste da matriz Hessiana (derivadas de segunda ordem) para determinar se é mínimo, máximo ou ponto de sela.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem. Como com , temos
Passo 3
Para pontos críticos precisamos de
Como para todo , as condições reduzem-se a
Logo o único ponto crítico é .
Passo 4
Agora calculemos as segundas derivadas para montar a Hessiana.
Passo 5
Avalie essas derivadas em :
Os determinantes principais da Hessiana em são
Como D1>0 e D2>0, a Hessiana é definida positiva, indicando um mínimo estrito em (0,0).
Resposta
O único ponto crítico é (0,0) e trata-se de um ponto de mínimo local (na verdade global, pois f cresce radialmente).