Calcule utilizando coordenadas esféricas.
integral triplaB x d x d y d z, onde B é o conjunto x^24+y^29+z^2 <= 1 e x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaB x ,dx,dy,dz
onde B é o semi-elipsoide definido por x^24+y^29+z^2<=1 com x>=0. Para resolver, vamos usar uma mudança de variáveis que transforme o elipsoide numa esfera unitária e em seguida coordenadas esféricas.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
x = 2u, y = 3v, z = w
que leva B no espaço (x,y,z) ao semi-esfera unitária
,u^2+v^2+w^2<=1,;u>=0.
O Jacobiano da transformação é
l|detpartial(x,y,z)partial(u,v,w)r| =2cdot3cdot1=6

Passo 3

Na nova variável o integrando e o elemento de volume passam a ser
x,dx,dy,dz = (2u),(6,du,dv,dw)=12,u,du,dv,dw
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integral triplaBx,dx,dy,dz =12integral triplau^2+v^2+w^2<=1,;u>=0u,du,dv,dw

Passo 4

Agora introduzimos coordenadas esféricas para (u,v,w):
u=rhosinphicostheta, v=rhosinphisintheta, w=rhocosphi,
com rhoin[0,1], phiin[0,pi] e thetain[-tfracpi2,tfracpi2] (para u>=0).
O Jacobiano vale rho^2sinphi.

Passo 5

Substituindo tudo no integral, obtemos
12 integraltheta=-pi/2^pi/2 integralphi=0^pi integralrho=0^1 l(rhosinphicosthetar) l(rho^2sinphir) ,drho,dphi,dtheta
Isso se separa em
12l(!integral-pi/2^pi/2costheta,dthetar) l(!integral0^pisin^2phi,dphir) l(!integral0^1rho^3,drhor)
Calculando cada parte:
integral-pi/2^pi/2costheta,dtheta =2, integral0^pisin^2phi,dphi =pi2, integral0^1rho^3,drho =14
Portanto o valor da integral é
12cdot2cdotpi2cdot14=3pi

Resposta

O valor da integral é 3pi.

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