Seja E o sólido limitado pelos dois planos z=1 e z=2 e lateralmente pelo cone z= raizx^2+y^2. Expresse o volume de E como integral tripla em coordenadas esféricas (não é necessário calcular a integral).

Passo 1

O enunciado nos dá o sólido E limitado pelas superfícies
;z=1, ;z=2 e lateralmente pelo cone ;z=raizx^2+y^2.
Para escrever o volume em coordenadas esféricas usamos as mudanças
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi
e o Jacobiano
dV = rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Passo 2

A superfície lateral é o cone
z = raizx^2+y^2
que em esféricas fica
rhocosphi = rhosinphi ;Longrightarrow; tanphi = 1 ;Longrightarrow; phi = pi4
Logo phi varia de 0 (eixo z) até pi/4.

Passo 3

Os planos z=1 e z=2 em esféricas são
rhocosphi = 1 e rhocosphi = 2,
portanto, para cada phi fixo,
1 <= rhocosphi <= 2 ;Longrightarrow; 1cosphi <= rho <= 2cosphi

Passo 4

Pela simetria em torno do eixo z, o ângulo theta varia de
0 <= theta <= 2pi

Passo 5

Juntando tudo, o volume de E em coordenadas esféricas é
V = integraltheta=0^2pi integralphi=0^pi/4 integralrho=1/cosphi^2/cosphi rho^2sinphi ;drho,dphi,dtheta

Resposta

V = integral0^2pi integral0^pi/4 integral1/cosphi^2/cosphi rho^2sinphi ;drho,dphi,dtheta

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