pontos
objeto aquecido a
é imerso em água, mantida a
. Depois de
horas, a temperatura do objeto é de
. Determine a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um objeto que está aquecido a 100°C e é colocado na água a 25°C. Depois de
horas, a temperatura do objeto cai para 40°C. Queremos descobrir uma função que nos diga qual será a temperatura do objeto em qualquer instante de tempo
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em contato com um ambiente com temperatura constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do objeto (
) é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto (
) e a temperatura do ambiente (
). Matematicamente, isso fica assim:
Aqui,
é uma constante positiva que depende das propriedades do objeto e do ambiente.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Primeiro, rearranjamos a equação:
Essa é uma equação linear que pode ser resolvida usando o método do fator integrante. A solução geral dessa equação é:
Onde
é uma constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais do problema.
Passo 4
Vamos usar a condição inicial para encontrar
. No tempo
, a temperatura do objeto é 100°C:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, usamos a outra informação que temos: após
horas, a temperatura é 40°C. Substituindo na equação:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resposta
A função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante
é: