(2,0 pontos ) Um objeto aquecido a 100^circ C é imerso em água, mantida a 25^circ C. Depois de ln (5) horas, a temperatura do objeto é de 40^circ C. Determine a função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um objeto que está aquecido a 100°C e é colocado na água a 25°C. Depois de ln(5) horas, a temperatura do objeto cai para 40°C. Queremos descobrir uma função que nos diga qual será a temperatura do objeto em qualquer instante de tempo t. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em contato com um ambiente com temperatura constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura do objeto ( dTdt) é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto ( T(t)) e a temperatura do ambiente ( Tamb). Matematicamente, isso fica assim:
dTdt = -k (T(t) - Tamb)
Aqui, k é uma constante positiva que depende das propriedades do objeto e do ambiente.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para encontrar T(t). Primeiro, rearranjamos a equação:
dTdt = -k T(t) + k Tamb
Essa é uma equação linear que pode ser resolvida usando o método do fator integrante. A solução geral dessa equação é:
T(t) = Tamb + C e^-kt
Onde C é uma constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais do problema.

Passo 4

Vamos usar a condição inicial para encontrar C. No tempo t = 0, a temperatura do objeto é 100°C:
100 = 25 + C e^-k cdot 0
100 = 25 + C cdot 1
C = 100 - 25 = 75
Então, a equação fica:
T(t) = 25 + 75 e^-kt

Passo 5

Agora, usamos a outra informação que temos: após ln(5) horas, a temperatura é 40°C. Substituindo na equação:
40 = 25 + 75 e^-k ln(5)
15 = 75 e^-k ln(5)
1575 = e^-k ln(5)
15 = e^-k ln(5)
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(15) = -k ln(5)
- ln(5) = -k ln(5)
k = 1

Resposta

A função que descreve a temperatura do objeto em qualquer instante t é:
T(t) = 25 + 75 e^-t

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