Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume da região sólida S=(x, y, z): x^2+y^2+(z-1)^2<1 e z>x^2+y^2.

Passo 1

A gente quer o volume da região S definida por x²+y²+(z−1)²<1 e z>x²+y², usando coordenadas esféricas, então vamos precisar: (1) converter as duas superfícies para esféricas (ρ,φ,θ), (2) encontrar os limites de ρ e φ, (3) montar a integral tripla e (4) calculá-la.

Passo 2

Converter a esfera x²+y²+(z−1)²<1 para esféricas. Em esféricas temos x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ. A condição fica
ρ²sin²φ+(ρcosφ−1)²<1 ²²²
Expandindo e simplificando dá
ρ²−2ρcosφ<0 ²
Como ρ≥0, isto equivale a
0<ρ<2cosφ
e exige cosφ>0, ou seja φ∈[0,π/2].

Passo 3

Converter o paraboloide z=x²+y² para esféricas. Temos z=ρcosφ e x²+y²=ρ²sin²φ, então
ρcosφ=ρ²sin²φ ²²
(com ρ>0) resulta em
ρ=cosφsin²φ=cotφcscφ ²
A região z>x²+y² vira ρ<cotφ cscφ.

Passo 4

Determinar onde cada limite de ρ (esfera ou paraboloide) é o menor. Comparamos 2cosφ e cotφ cscφ:
2cosφ=cosφsin²φ ²
leva a 2sin²φ=1, ou φ=π/4. Para φ∈[0,π/4], 2cosφ≤cotφ cscφ, e para φ∈[π/4,π/2], cotφ cscφ≤2cosφ.

Passo 5

Montar o volume como integral tripla. O elemento é ρ²sinφ dρ dφ dθ, θ∈[0,2π], e dividimos φ em dois trechos:
V=integral0^2pil[integral0^pi/4integral0^2cosφρ²sinφ,dρ,dφ+integralpi/4^pi/2integral0^cotφcscφρ²sinφ,dρ,dφr]dθ ²²

Passo 6

Calcular a primeira parte V₁:
V₁=2πintegral0^π/4l[ρ³3r]0^2cosφsinφ,dφ =2π3integral0^π/48cos³φsinφ,dφ =16π3integral0^π/4cos³φsinφ,dφ ³³³
Fazemos u=cosφ, du=−sinφ dφ: os limites vão de u(0)=1 a u(π/4)=1/√2, então
integral0^π/4cos³φsinφ,dφ=integral1^1/√2(−u³)du=integral1/√2^1u³du=l[u⁴4r]1/√2^1=316 ³³³
Logo
V₁=16π3·316=π3

Passo 7

Calcular a segunda parte V₂:
V₂=2πintegralπ/4^π/2l[ρ³3r]0^cotφcscφsinφ,dφ =2π3integralπ/4^π/2(cot³φcsc³φ)sinφ,dφ =2π3integralπ/4^π/2cot³φcsc²φ,dφ ³³³³²
Como d(cotφ)=−csc²φ dφ, fazemos u=cotφ e obtemos
integralπ/4^π/2cot³φcsc²φ,dφ=−integral1^0u³du=14 ³²³
Então
V₂=2π3·14=π6

Passo 8

Somar as duas partes dá o volume total:
V=V₁+V₂=π3+π6=π2

Resposta

π2

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