Calcule, utilizando coordenadas esféricas, o volume da região sólida
e
.
Passo 1
A gente quer o volume da região S definida por x²+y²+(z−1)²<1 e z>x²+y², usando coordenadas esféricas, então vamos precisar: (1) converter as duas superfícies para esféricas (ρ,φ,θ), (2) encontrar os limites de ρ e φ, (3) montar a integral tripla e (4) calculá-la.
Passo 2
Converter a esfera x²+y²+(z−1)²<1 para esféricas. Em esféricas temos x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ. A condição fica
Expandindo e simplificando dá
Como ρ≥0, isto equivale a
e exige cosφ>0, ou seja φ∈[0,π/2].
Passo 3
Converter o paraboloide z=x²+y² para esféricas. Temos z=ρcosφ e x²+y²=ρ²sin²φ, então
(com ρ>0) resulta em
A região z>x²+y² vira ρ<cotφ cscφ.
Passo 4
Determinar onde cada limite de ρ (esfera ou paraboloide) é o menor. Comparamos 2cosφ e cotφ cscφ:
leva a 2sin²φ=1, ou φ=π/4. Para φ∈[0,π/4], 2cosφ≤cotφ cscφ, e para φ∈[π/4,π/2], cotφ cscφ≤2cosφ.
Passo 5
Montar o volume como integral tripla. O elemento é ρ²sinφ dρ dφ dθ, θ∈[0,2π], e dividimos φ em dois trechos:
Passo 6
Calcular a primeira parte V₁:
Fazemos u=cosφ, du=−sinφ dφ: os limites vão de u(0)=1 a u(π/4)=1/√2, então
Logo
Passo 7
Calcular a segunda parte V₂:
Como d(cotφ)=−csc²φ dφ, fazemos u=cotφ e obtemos
Então
Passo 8
Somar as duas partes dá o volume total: