Classifique os pontos críticos da função
.
Passo 1
A questão pede para achar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis
. O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais para encontrar o gradiente, solução do sistema
e teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Resolvemos o sistema
e
:
De vêm as possibilidades
,
ou
.
De
- Se
, então ⇒ . - Se
, então ⇒ . - Se
, então . Substituindo em dá , logo (reproduz o caso anterior) ou . Assim os pontos críticos são:
Passo 4
Montamos a matriz Hessiana:
onde
Passo 5
Avaliação e classificação:
- Em
: , , ⇒ determinante (caso degenerado). Testando em pequenas perturbações surge valor acima de , logo é ponto de sela. - Nos pontos
:
⇒
Determinante negativo indica ponto de sela.
Passo 6
Todos os pontos críticos encontrados são pontos de sela.
Resposta
Os pontos críticos são
,
e
, e todos se classificam como pontos de sela.