Classifique os pontos críticos da função f(x, y)=x^2 y^2-x y^3-x^2-10.

Passo 1

A questão pede para achar e classificar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=x^2y^2-xy^3-x^2-10. O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais para encontrar o gradiente, solução do sistema ∇f=0 e teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx=partial fpartial x=2xy^2-y^3-2x,
fy=partial fpartial y=2x^2y-3xy^2=xy(2x-3y)

Passo 3

Resolvemos o sistema fx=0 e fy=0:
De fy=0 vêm as possibilidades x=0, y=0 ou 2x-3y=0.
  • Se x=0, então fx=-y^3=0 y=0.
  • Se y=0, então fx=-2x=0 x=0.
  • Se 2x-3y=0, então x=3y/2. Substituindo em fx=0 3y(y^2-1)-y^3=2y^3-3y=0, logo y=0 (reproduz o caso anterior) ou y=pmraiz3/2. Assim os pontos críticos são:
(0,0),l(tfrac32raiztfrac32,,raiztfrac32r),l(-tfrac32raiztfrac32,,-raiztfrac32r)

Passo 4

Montamos a matriz Hessiana:
H=fxx&fxyfyx&fyy,
onde
fxx=2y^2-2, fxy=4xy-3y^2, fyy=2x^2-6xy

Passo 5

Avaliação e classificação:
  • Em (0,0): fxx=-2, fyy=0, fxy=0 ⇒ determinante D=0 (caso degenerado). Testando em pequenas perturbações surge valor acima de f(0,0), logo é ponto de sela.
  • Nos pontos (pmtfrac32raiztfrac32,pmraiztfrac32):
    fxx=1,;fyy=-27/4,;fxy=9/2 D=fxxfyy-fxy^2=1cdotl(-tfrac274r)-(tfrac92)^2=-27<0
    Determinante negativo indica ponto de sela.

Passo 6

Todos os pontos críticos encontrados são pontos de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0), l(tfrac32raiztfrac32,,raiztfrac32r) e l(-tfrac32raiztfrac32,,-raiztfrac32r), e todos se classificam como pontos de sela.

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