Utilizando coordenadas polare, calcule a integral dupla integral duplaR x y dA,
sendo R=(x, y): x>0, y>0, x^2+y^2<1, x^2+(y-1)^2>1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR x y ,dA, onde R é a região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas x^2+y^2=1 (círculo de raio 1) e x^2+(y-1)^2=1 (círculo de raio 1 centrado em (0,1)). O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x = rcostheta, y = rsintheta e então xy,dA = (rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta = r^3costhetasintheta,dr,dtheta. As restrições viram: x^2+y^2<1 r<1 e x^2+(y-1)^2>1 vira r^2 - 2rsintheta +1>1 implies r>2sintheta Além disso x>0,y>0 impõe 0.

Passo 3

Para que haja pontos com r>2sintheta e r<1 é necessário 2sintheta<1, ou seja sintheta<1/2, logo 0. Assim os limites são 0

Passo 4

Escrevendo a integral fica I=integraltheta=0^pi/6integralr=2sintheta^1 r^3costhetasintheta,dr,dtheta Integramos primeiro em r: integral2sintheta^1r^3,dr=l[tfracr^44r]2sintheta^1=tfrac14l(1-(2sintheta)^4r)=tfrac14l(1-16sin^4thetar) Então I=integral0^pi/6 costhetasintheta,tfrac14l(1-16sin^4thetar),dtheta=tfrac14integral0^pi/6(sinthetacostheta -16sin^5thetacostheta),dtheta

Passo 5

Fazendo a substituição u=sintheta, du=costheta,dtheta, de u(0)=0 até u(pi/6)=1/2, obtemos I=tfrac14integral0^1/2u,du-4integral0^1/2u^5,du Calculando as primitivas: tfrac14l[tfracu^22r]0^1/2 -4l[tfracu^66r]0^1/2=tfrac14cdottfrac18-4cdottfrac1384=tfrac132-tfrac196=tfrac148

Resposta

148

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