Utilizando coordenadas polare, calcule a integral dupla
dA,
sendo
.
sendo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas
(círculo de raio 1) e
(círculo de raio 1 centrado em
). O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, usando
,
e o jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
,
e então
. As restrições viram:
dá
e
vira
Além disso
impõe
.
Passo 3
Para que haja pontos com
e
é necessário
, ou seja
, logo
. Assim os limites são
Passo 4
Escrevendo a integral fica
Integramos primeiro em
:
Então
Passo 5
Fazendo a substituição
,
, de
até
, obtemos
Calculando as primitivas: