Calcule, utilizando a definição formal via limite, a derivada direcional da função f no ponto P, na direção do vetor \mathbf{v} dado.
f(x, y)=x^{2} y+y, \quad P(1,1), \quad \mathbf{v}=(2,-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{2}y+y
no ponto P=(1,1) na direção do vetor \mathbf{v}=(2,-1), usando a definição via limite.

Passo 2

Primeiro obtemos o vetor unitário na direção de \mathbf{v}. A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{5},
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\mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \Bigl(\frac{2}{\sqrt5},\;-\frac{1}{\sqrt5}\Bigr).

Passo 3

A definição da derivada direcional é
D_{\mathbf{v}}f(P) = \lim_{h\to0}\frac{f\bigl(P + h\,\mathbf{u}\bigr)-f(P)}{h}.

Passo 4

Calculamos primeiro
f\bigl(P + h\,\mathbf{u}\bigr) = f\Bigl(1 + \tfrac{2h}{\sqrt5},\,1 - \tfrac{h}{\sqrt5}\Bigr) = \Bigl(1 + \tfrac{2h}{\sqrt5}\Bigr)^{2}\Bigl(1 - \tfrac{h}{\sqrt5}\Bigr) + \Bigl(1 - \tfrac{h}{\sqrt5}\Bigr).
Expandindo em série de Taylor até termos lineares em h, obtemos
f(P + h\,\mathbf{u}) = 2 + \frac{2h}{\sqrt5} + o(h),
sabendo que f(1,1)=2. Então o quociente de diferenças fica
\frac{f(P + h\,\mathbf{u}) - f(P)}{h} = \frac{2 + \frac{2h}{\sqrt5} - 2 + o(h)}{h} = \frac{2}{\sqrt5} + o(1).

Passo 5

Fazendo h\to0 no limite, sobra
D_{\mathbf{v}}f(P) = \frac{2}{\sqrt5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\sqrt5}

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