Calcule, utilizando a definição formal via limite, a derivada direcional da função f no ponto P, na direção do vetor \mathbf{v} dado.
f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, \quad(x, y) \neq(0,0), \quad f(0,0)=0, \quad P(1,2), \quad \mathbf{v}=(3,4)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
no ponto P=(1,2) na direção do vetor \mathbf{v}=(3,4), usando a definição via limite. Para isso precisamos (a) normalizar \mathbf{v} e (b) usar
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{h\to0}\frac{f\bigl(P+h\,\mathbf{u}\bigr)-f(P)}{h}.

Passo 2

Normalizamos \mathbf{v} para obter o vetor unitário
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \quad\text{com}\quad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,
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\mathbf{u}=\Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr).

Passo 3

Montamos o quociente de diferença:
D_{\mathbf{u}}f(1,2) =\lim_{h\to0} \frac{f\bigl(1+\tfrac{3}{5}h,\;2+\tfrac{4}{5}h\bigr)-f(1,2)}{h}.
Sabendo que
f(1,2)=\frac{1\cdot2}{1+4}=\frac{2}{5},
calculamos agora f\bigl(1+\tfrac{3}{5}h,2+\tfrac{4}{5}h\bigr).

Passo 4

Primeiro expandimos o numerador e o denominador de
f\bigl(1+\tfrac{3}{5}h,\;2+\tfrac{4}{5}h\bigr) =\frac{\bigl(1+\tfrac{3}{5}h\bigr)\bigl(2+\tfrac{4}{5}h\bigr)} {\bigl(1+\tfrac{3}{5}h\bigr)^{2}+\bigl(2+\tfrac{4}{5}h\bigr)^{2}}.
No numerador:
(1+\tfrac{3}{5}h)(2+\tfrac{4}{5}h) =2+2h+\tfrac{12}{25}h^{2}.
No denominador:
(1+\tfrac{3}{5}h)^{2}+(2+\tfrac{4}{5}h)^{2} =5+\tfrac{22}{5}h+h^{2}.
Assim
f\bigl(1+\tfrac{3}{5}h,2+\tfrac{4}{5}h\bigr) =\frac{2+2h+\tfrac{12}{25}h^{2}}{5+\tfrac{22}{5}h+h^{2}}.

Passo 5

Formamos o quociente de diferença e simplificamos até o limite. Primeiro
\frac{f(P+h\mathbf{u})-f(P)}{h} =\frac{\displaystyle \frac{2+2h+\tfrac{12}{25}h^{2}}{5+\tfrac{22}{5}h+h^{2}} -\frac{2}{5} }{h}.
Colocando em um só numerador e expandindo até termos de ordem h:
\frac{f(P+h\mathbf{u})-f(P)}{h} =\frac{\tfrac{6}{5}h+\tfrac{2}{5}h^{2}}{h\bigl(25+22h+5h^{2}\bigr)} =\frac{\tfrac{6}{5}+\tfrac{2}{5}h}{25+22h+5h^{2}}.
Fazendo h\to0 fica
D_{\mathbf{u}}f(1,2) =\frac{\tfrac{6}{5}}{25} =\frac{6}{125}.

Resposta

\boxed{\frac{6}{125}}

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