Calcule, utilizando a definição formal via limite, a derivada direcional da função f no ponto P, na direção do vetor \mathbf{v} dado.
f(x, y)=e^{x-y}, \quad P(0,0), \quad \mathbf{v}=(1,2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=e^{x-y} no ponto P(0,0) na direção do vetor \mathbf{v}=(1,2). O conteúdo envolvido é a definição formal de derivada direcional via limite:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\lim_{h\to0}\frac{f\bigl(P+h\mathbf{u}\bigr)-f(P)}{h},
onde \mathbf{u} é o vetor direção unitário associado a \mathbf{v}.

Passo 2

Primeiro normalizamos \mathbf{v} para obter o vetor direção unitário \mathbf{u}. Calculamos a norma:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.
Logo
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 3

Aplicamos a definição formal da derivada direcional em \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f\bigl(0+h\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,0+h\tfrac{2}{\sqrt{5}}\bigr)-f(0,0)}{h}.

Passo 4

Avaliamo-s f nos pontos necessários:
f\bigl(h/\sqrt{5},\,2h/\sqrt{5}\bigr) =\exp\bigl(\tfrac{h}{\sqrt{5}}-\tfrac{2h}{\sqrt{5}}\bigr) =\exp\bigl(-\tfrac{h}{\sqrt{5}}\bigr),
e
f(0,0)=e^{0-0}=1.
Então o quociente é
\frac{e^{-h/\sqrt{5}}-1}{h}.

Passo 5

Para h\to0 usamos o limite clássico \lim_{h\to0}\tfrac{e^{a h}-1}{h}=a. Aqui a=-\tfrac{1}{\sqrt{5}}, logo
D_{\mathbf{u}}f(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{e^{-h/\sqrt{5}}-1}{h} =-\frac{1}{\sqrt{5}}.

Resposta

-\frac{1}{\sqrt{5}}.

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