Calcule utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0}(\cos 2 x)^{1 / x^{2}}

Passo 1

Enunciado: Calcular o limite
\lim_{x\to 0} (\cos 2x)^{1/x^{2}}.
Informações dadas:
\cos 2x é a função dentro da base, o expoente é 1/x^{2} e a variável tende a 0.
O que se pede: o valor numérico do limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Observação sobre o tipo de expressão e transformação útil: expressões da forma f(x)^{g(x)} costumam ficar mais fáceis se tomarmos logaritmo natural. Definimos a quantidade cujo limite queremos por
L=\lim_{x\to 0} (\cos 2x)^{1/x^{2}}.
Se conseguirmos \lim_{x\to0}\ln\big((\cos 2x)^{1/x^{2}}\big) e esse limite for finito, então L=\exp desse limite. Vamos portanto estudar
\ln L=\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos 2x)}{x^{2}}.
Explicar por que isso é válido: a função y\mapsto \ln y é contínua para y>0; como \cos 2x\to1>0, podemos aplicar \ln e depois voltar com exponencial.

Passo 3

Identificar o tipo de indeterminação na forma \displaystyle \frac{\ln(\cos 2x)}{x^{2}}.
  • Quando x\to0 temos \cos 2x\to1, logo \ln(\cos 2x)\to\ln 1=0.
  • O denominador x^{2}\to0.
Portanto a expressão tem a indeterminação do tipo \displaystyle\frac{0}{0}, o que nos permite usar o Teorema de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis nas proximidades de 0, exceto possivelmente em 0).
Breve explicação do Teorema de L’Hospital: se f(x) e g(x) tendem a 0 (ou ambos a \pm\infty) quando x\to a, e f e g são diferenciáveis em um vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e se o limite \lim_{x\to a} f'(x)/g'(x) existe ou é \pm\infty, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui aplicaremos isso com f(x)=\ln(\cos 2x) e g(x)=x^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias (explicando passo a passo):
Queremos f'(x) com f(x)=\ln(\cos 2x).
Usamos a regra da cadeia e a regra da derivada do logaritmo:
  • A derivada de \ln(u) em relação a x é u'(x)/u(x).
  • Aqui u(x)=\cos 2x. A derivada de \cos 2x é -\sin 2x multiplicado pela derivada interna de 2x, que é 2. Então \dfrac{d}{dx}\cos 2x = -2\sin 2x.
Portanto
f'(x)=\frac{\dfrac{d}{dx}\big(\cos 2x\big)}{\cos 2x}=\frac{-2\sin 2x}{\cos 2x}=-2\tan 2x.
A derivada do denominador g(x)=x^{2} é
g'(x)=2x.

Passo 5

Aplicar L’Hospital: pela regra,
\ln L=\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos 2x)}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to0}\frac{-2\tan 2x}{2x}.
Simplificando o fator 2,
\ln L=\lim_{x\to0}\left(-\frac{\tan 2x}{x}\right) = -\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{x}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{x}.
Método direto por substituição: coloque u=2x. Quando x\to0, u\to0. Reescrevendo,
\frac{\tan 2x}{x}=\frac{\tan u}{u/2}=2\cdot\frac{\tan u}{u}.
Conhecimento fundamental (que pode ser lembrado ou provado por série/taylor ou limite trigonométrico): \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1. Logo
\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{x}=2\cdot 1=2.
Comentário didático: a identidade \lim_{u\to0}\tan u / u=1 decorre de \tan u \sim u para pequenos u (ou do limite \sin u / u =1 e \tan u = \sin u / \cos u, com \cos u\to1).

Passo 7

Inserindo esse resultado em \ln L:
\ln L = -\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{x} = -2.
Portanto o logaritmo natural do limite é -2.

Passo 8

Voltar do logaritmo para o limite original: se \ln L=-2, então
L = e^{-2}.
Também vale notar como checagem intuitiva: usando a expansão em série para \cos t próximo de 0,
\cos t = 1-\frac{t^{2}}{2}+o(t^{2}),
colocando t=2x obtemos \cos 2x \approx 1-2x^{2} e
(\cos 2x)^{1/x^{2}}\approx(1-2x^{2})^{1/x^{2}}\to e^{-2},
o que confirma o resultado obtido por L’Hospital.

Resposta

e^{-2}

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