Calcule utilizando L’Hospital.
Passo 1
Enunciado: Calcular o limite
Informações dadas:
é a função dentro da base, o expoente é
e a variável tende a
.
O que se pede: o valor numérico do limite quando se aproxima de
.
O que se pede: o valor numérico do limite quando
Passo 2
Observação sobre o tipo de expressão e transformação útil: expressões da forma
costumam ficar mais fáceis se tomarmos logaritmo natural. Definimos a quantidade cujo limite queremos por
Se conseguirmos
e esse limite for finito, então
desse limite. Vamos portanto estudar
Explicar por que isso é válido: a função
é contínua para
; como
, podemos aplicar
e depois voltar com exponencial.
Passo 3
Identificar o tipo de indeterminação na forma
.
- Quando
temos , logo . - O denominador
.
Portanto a expressão tem a indeterminação do tipo
, o que nos permite usar o Teorema de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis nas proximidades de
, exceto possivelmente em
).
Breve explicação do Teorema de L’Hospital: se
e
tendem a
(ou ambos a
) quando
, e
e
são diferenciáveis em um vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e se o limite
existe ou é
, então
Aqui aplicaremos isso com
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias (explicando passo a passo):
Queremos
com
.
Usamos a regra da cadeia e a regra da derivada do logaritmo:
Usamos a regra da cadeia e a regra da derivada do logaritmo:
- A derivada de
em relação a é . - Aqui
. A derivada de é multiplicado pela derivada interna de , que é . Então .
Portanto
A derivada do denominador
é
Passo 5
Aplicar L’Hospital: pela regra,
Simplificando o fator
,
Passo 6
Calcular
.
Método direto por substituição: coloque
. Quando
,
. Reescrevendo,
Conhecimento fundamental (que pode ser lembrado ou provado por série/taylor ou limite trigonométrico):
. Logo
Comentário didático: a identidade
decorre de
para pequenos
(ou do limite
e
, com
).
Passo 7
Inserindo esse resultado em
:
Portanto o logaritmo natural do limite é
.
Passo 8
Voltar do logaritmo para o limite original: se
, então
Também vale notar como checagem intuitiva: usando a expansão em série para
próximo de
,
colocando
obtemos
e
o que confirma o resultado obtido por L’Hospital.