Calcule \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{\sqrt{x}-1}-1}{x-4}
a) 1
b) \frac{1}{2}
c) \frac{1}{4}
d) \frac{1}{8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{\sqrt{x}-1}-1}{x-4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável que se aproxima é x e o ponto de aproximação é 4.
  • O numerador é \sqrt{\sqrt{x}-1}-1.
  • O denominador é x-4.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico do limite (há opções múltipla escolha: a) 1; b) \tfrac{1}{2}; c) \tfrac{1}{4}; d) \tfrac{1}{8}).

Passo 2

Verificar a substituição direta para identificar o tipo de indeterminação: substituindo x=4 temos \sqrt{4}=2, então o numerador tende a \sqrt{2-1}-1=\sqrt{1}-1=1-1=0 e o denominador tende a 4-4=0. Portanto a expressão tem forma indeterminada 0/0.
Breve aula: a forma 0/0 significa que não podemos afirmar o limite só por substituição; é preciso manipular a expressão para simplificá-la (por exemplo, fatorando, racionalizando ou usando o Teorema de l’Hôpital). Vou usar um método algébrico simples e elementar (substituição seguida de racionalização).

Passo 3

Fazer uma mudança de variável para simplificar a raiz composta. Defina
u=\sqrt{x}.
Então x=u^{2} e quando x\to 4 temos u\to 2. Substituindo na expressão original obtemos
\frac{\sqrt{\sqrt{x}-1}-1}{x-4}=\frac{\sqrt{u-1}-1}{u^{2}-4}.
Agora nosso limite ficou em termos de u:
\lim_{u\to 2}\frac{\sqrt{u-1}-1}{u^{2}-4}.

Passo 4

Observação: ainda temos indeterminação 0/0 em u=2. Vamos racionalizar o numerador (truque clássico): multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador \sqrt{u-1}+1. Isso não muda o valor, apenas transforma a expressão. Faça a multiplicação:
\frac{\sqrt{u-1}-1}{u^{2}-4}\cdot\frac{\sqrt{u-1}+1}{\sqrt{u-1}+1} = \frac{(\sqrt{u-1}-1)(\sqrt{u-1}+1)}{(u^{2}-4)(\sqrt{u-1}+1)}.
Aplique a diferença de quadrados no numerador:
(\sqrt{u-1})^{2}-1^{2}=(u-1)-1=u-2.
Logo a expressão vira
\frac{u-2}{(u^{2}-4)(\sqrt{u-1}+1)}.

Passo 5

Fatore u^{2}-4 no denominador como diferença de quadrados:
u^{2}-4=(u-2)(u+2).
Substituindo,
\frac{u-2}{(u-2)(u+2)(\sqrt{u-1}+1)}.
Agora podemos cancelar o fator comum u-2 (válido para u\neq 2; estamos trabalhando com limites, então é permitido simplificar a expressão para os u próximos de 2). Após cancelar obtemos a forma simplificada
\frac{1}{(u+2)(\sqrt{u-1}+1)}.

Passo 6

Agora o limite é fácil: basta substituir u\to 2 na expressão simplificada (já não há indeterminação):
calcule \sqrt{u-1} em u=2: \sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1. Então
(u+2)(\sqrt{u-1}+1)\Big|_{u=2}=(2+2)(1+1)=4\cdot 2=8.
Portanto o valor do limite é
\frac{1}{8}.

Passo 7

Comentário didático e alternativa: escolhi a substituição u=\sqrt{x} seguida de racionalização porque é um método algébrico básico e rápido, adequado para provas sem calculadora. Outra alternativa seria aplicar o Teorema de l’Hôpital (derivar numerador e denominador), mas isso exige calcular derivadas de funções compostas; dá o mesmo resultado, porém é mais trabalhoso aqui. A técnica de multiplicar pela conjugada é um truque muito útil para eliminar raízes e quitar indeterminações 0/0.

Resposta

d) \frac{1}{8}

Exercícios relacionados