Calcule utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow \infty} x e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} x e^{-x},
usando a regra de L’Hospital. As informações relevantes são:
  • A expressão é um produto entre x e e^{-x}.
  • O ponto onde avaliamos o limite é x \rightarrow \infty.
  • Temos que transformar a expressão em uma forma adequada para aplicar L’Hospital (se necessário) e então calcular o limite.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão para uma forma de quociente (porque L’Hospital é enunciado para limites de quocientes). Note que
e^{-x}=\frac{1}{e^{x}},
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x e^{-x}=\frac{x}{e^{x}}.
Agora o limite fica
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{e^{x}}.

Passo 3

Verificamos a forma indeterminada quando x \rightarrow \infty:
  • O numerador x \rightarrow \infty.
  • O denominador e^{x} \rightarrow \infty.
    Portanto a expressão tem a forma \infty/\infty, que é uma forma onde a regra de L’Hospital pode ser aplicada, desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis em um intervalo apropriado (são).

Passo 4

Enunciado da regra de L’Hospital (versão usada): se \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty e \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty). Aqui podemos aplicar com f(x)=x e g(x)=e^{x}.

Passo 5

Calculamos as derivadas:
  • f'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.
  • g'(x)=\frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.
    Aplicando L’Hospital obtemos o limite equivalente
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{e^{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{e^{x}}.

Passo 6

Agora avaliamos \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{e^{x}}. Como e^{x}\rightarrow \infty quando x\rightarrow\infty, a fração \frac{1}{e^{x}} tende a 0. Em palavras: a exponencial no denominador cresce muito mais rápido que o numerador constante 1, então o quociente vai a zero.

Passo 7

Conclusão final do cálculo: a aplicação de L’Hospital reduziu o problema a um limite óbvio que vale 0. Intuitivamente, isso mostra também que funções do tipo x^n e^{-x} tendem a 0 quando x\to\infty (basta aplicar L’Hospital n vezes).

Resposta

\,0

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