Calcule utilizando L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
usando a regra de L’Hospital. As informações relevantes são:
- A expressão é um produto entre
e . - O ponto onde avaliamos o limite é
. - Temos que transformar a expressão em uma forma adequada para aplicar L’Hospital (se necessário) e então calcular o limite.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão para uma forma de quociente (porque L’Hospital é enunciado para limites de quocientes). Note que
logo
Agora o limite fica
Passo 3
Verificamos a forma indeterminada quando
:
- O numerador
. - O denominador
.
Portanto a expressão tem a forma, que é uma forma onde a regra de L’Hospital pode ser aplicada, desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis em um intervalo apropriado (são).
Passo 4
Enunciado da regra de L’Hospital (versão usada): se
e
e
são diferenciáveis perto de
com
perto de
, então
se o limite do lado direito existir (ou for
). Aqui podemos aplicar com
e
.
Passo 5
Calculamos as derivadas:
-
. -
.
Aplicando L’Hospital obtemos o limite equivalente
Passo 6
Agora avaliamos
. Como
quando
, a fração
tende a
. Em palavras: a exponencial no denominador cresce muito mais rápido que o numerador constante
, então o quociente vai a zero.
Passo 7
Conclusão final do cálculo: a aplicação de L’Hospital reduziu o problema a um limite óbvio que vale
. Intuitivamente, isso mostra também que funções do tipo
tendem a
quando
(basta aplicar L’Hospital
vezes).