Calcule utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{\operatorname{sen} x}-\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{\operatorname{sen}x}-\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{A expressão é } \frac{1}{\operatorname{sen}x}-\frac{1}{x}\quad\text{e } x\to 0^{+}.ãé
Observações que são úteis para a resolução (sem resolver ainda): \operatorname{sen}0=0, então cada termo isolado ( 1/\operatorname{sen}x e 1/x ) tende a infinito quando x\to 0^{+}. A expressão é, portanto, uma diferença entre duas quantidades singulares e pode gerar uma forma indeterminada, que precisa ser tratada com cuidado.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar a diferença sobre um único denominador para ver o tipo de indeterminação. Calculamos
\frac{1}{\operatorname{sen}x}-\frac{1}{x}=\frac{x-\operatorname{sen}x}{x\,\operatorname{sen}x}.
Explicando a operação: fizemos a subtração de frações com denominadores diferentes. O denominador comum é x\operatorname{sen}x e o numerador é x-\operatorname{sen}x.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento do numerador e do denominador quando x\to 0^{+}.
\lim_{x\to 0^{+}}(x-\operatorname{sen}x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^{+}}x\,\operatorname{sen}x=0,
logo a expressão \dfrac{x-\operatorname{sen}x}{x\,\operatorname{sen}x} tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso permite o uso da Regra de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis nas proximidades de 0, o que é verdade aqui).

Passo 4

Breve aula sobre a Regra de L’Hospital (didática): quando temos um limite \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} que resulta em \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto talvez em a mesmo) e g'(x)\neq 0 nessa vizinhança (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se o limite à direita existir (ou for \pm\infty). Podemos aplicar L’Hospital várias vezes se a indeterminação persistir após a primeira diferenciação. Aqui f(x)=x-\operatorname{sen}x e g(x)=x\operatorname{sen}x são diferenciáveis, então podemos aplicar a regra.
Também lembrando regras de derivação que usaremos:
  • \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\cos x.
  • Derivada de produto: \dfrac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 5

Aplicando L’Hospital uma primeira vez ao quociente
\frac{x-\operatorname{sen}x}{x\,\operatorname{sen}x},
calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
  • Numerador: \dfrac{d}{dx}(x-\operatorname{sen}x)=1-\cos x.
  • Denominador: \dfrac{d}{dx}\big(x\operatorname{sen}x\big)=\operatorname{sen}x + x\cos x (aplicando a regra do produto: derivada de x é 1, multiplicada por \operatorname{sen}x, mais x vezes derivada de \operatorname{sen}x que é \cos x).
Então, pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x-\operatorname{sen}x}{x\,\operatorname{sen}x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}x + x\cos x}.

Passo 6

Verificamos o novo quociente no ponto x\to 0^{+}:
1-\cos 0=0,\qquad \operatorname{sen}0+0\cdot\cos 0=0,
ou seja, ainda temos a indeterminação \dfrac{0}{0}. Podemos aplicar L’Hospital novamente. Calculamos as derivadas de numerador e denominador desta nova fração:
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}(1-\cos x)=\sin x.
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x + x\cos x\big)=\cos x + (\cos x - x\sin x)=2\cos x - x\sin x.
    Explicando: derivada de \operatorname{sen}x é \cos x; para x\cos x usamos produto: derivada é 1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x).
Portanto, aplicando L’Hospital pela segunda vez,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos x}{\operatorname{sen}x + x\cos x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{2\cos x - x\sin x}.

Passo 7

Agora avaliamos o limite da última expressão diretamente, já que não é mais indeterminado ao x\to 0^{+}. Substituindo x=0:
\sin 0 = 0,\qquad 2\cos 0 - 0\cdot\sin 0 = 2\cdot 1 - 0 = 2.
Logo o quociente tende a \dfrac{0}{2}=0.

Passo 8

Resumo do raciocínio (curta recapitulação para fixar): reescrevemos a diferença como um quociente que deu 0/0, aplicamos L’Hospital duas vezes diferenciando numerador e denominador passo a passo (usando derivada de seno/cosseno e regra do produto) e ao final obtivemos uma fração cujo denominador é 2 no limite, fazendo o limite total ser 0. Bom trabalho! Você conseguiu seguir L’Hospital duas vezes — é exatamente o tipo de técnica pedida nessa questão.

Resposta

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