Calcule utilizando L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observações que são úteis para a resolução (sem resolver ainda):
, então cada termo isolado (
e
) tende a infinito quando
. A expressão é, portanto, uma diferença entre duas quantidades singulares e pode gerar uma forma indeterminada, que precisa ser tratada com cuidado.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: colocar a diferença sobre um único denominador para ver o tipo de indeterminação. Calculamos
Explicando a operação: fizemos a subtração de frações com denominadores diferentes. O denominador comum é
e o numerador é
.
Passo 3
Agora analisamos o comportamento do numerador e do denominador quando
.
logo a expressão
tem a forma indeterminada
. Isso permite o uso da Regra de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis nas proximidades de
, o que é verdade aqui).
Passo 4
Breve aula sobre a Regra de L’Hospital (didática): quando temos um limite
que resulta em
ou
, e se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto talvez em
mesmo) e
nessa vizinhança (exceto possivelmente em
), então
se o limite à direita existir (ou for
). Podemos aplicar L’Hospital várias vezes se a indeterminação persistir após a primeira diferenciação. Aqui
e
são diferenciáveis, então podemos aplicar a regra.
Também lembrando regras de derivação que usaremos:
-
. - Derivada de produto:
.
Passo 5
Aplicando L’Hospital uma primeira vez ao quociente
calculamos as derivadas do numerador e do denominador:
- Numerador:
- Denominador:
(aplicando a regra do produto: derivada de é , multiplicada por , mais vezes derivada de que é ).
Então, pela Regra de L’Hospital,
Passo 6
Verificamos o novo quociente no ponto
:
ou seja, ainda temos a indeterminação
. Podemos aplicar L’Hospital novamente. Calculamos as derivadas de numerador e denominador desta nova fração:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Explicando: derivada deé ; para usamos produto: derivada é .
Portanto, aplicando L’Hospital pela segunda vez,
Passo 7
Agora avaliamos o limite da última expressão diretamente, já que não é mais indeterminado ao
. Substituindo
:
Logo o quociente tende a
.
Passo 8
Resumo do raciocínio (curta recapitulação para fixar): reescrevemos a diferença como um quociente que deu
, aplicamos L’Hospital duas vezes diferenciando numerador e denominador passo a passo (usando derivada de seno/cosseno e regra do produto) e ao final obtivemos uma fração cujo denominador é
no limite, fazendo o limite total ser
. Bom trabalho! Você conseguiu seguir L’Hospital duas vezes — é exatamente o tipo de técnica pedida nessa questão.