Calcule a derivada das funções abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
onde
Informações dadas relevantes:
- A expressão da função é
. - Devemos encontrar
, a derivada em relação a . - Observação importante sobre domínio: a fórmula que vamos obter exige que
(pois vamos usar ); portanto a resposta vale para .
Passo 2
Por que isso é um pouco diferente do que você já viu: aqui a base e o expoente dependem de
ao mesmo tempo — não é um caso do tipo
com
constante nem do tipo
com
constante. Uma forma muito prática de lidar com isso é transformar a potência em algo mais manejável usando logaritmo natural. Vamos fazer isso passo a passo.
Defina
Aplique o logaritmo natural aos dois lados (isso é válido porque
, então
):
Use a propriedade dos logaritmos
para simplificar o lado direito:
Passo 3
Agora vamos derivar ambos os lados em relação a
. Antes, revisão rápida das regras que vamos usar:
- Regra da cadeia para
: se , então . Aqui . - Regra do produto para
: . - Derivada de
(para ) é .
Agora aplique a derivação:
a) Derivada do lado esquerdo:
a) Derivada do lado esquerdo:
b) Derivada do lado direito, usando produto com
e
:
Passo 4
Igualando as derivadas obtidas em Passo 3:
Agora isole
:
Passo 5
Volte à variável original: lembrando que
, substituímos:
Comentário prático: essa é a forma mais útil na prova — deixe assim, não tente expandir mais. Exemplo numérico rápido para fixar: em
,
E em
,