Calcule a derivada das funções abaixo.
f(x)=x^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de f onde
f(x)=x^{x}.
Informações dadas relevantes:
  • A expressão da função é \;x^{x}\;.
  • Devemos encontrar f'(x), a derivada em relação a x.
  • Observação importante sobre domínio: a fórmula que vamos obter exige que x>0 (pois vamos usar \ln x); portanto a resposta vale para x>0.

Passo 2

Por que isso é um pouco diferente do que você já viu: aqui a base e o expoente dependem de x ao mesmo tempo — não é um caso do tipo a^{x} com a constante nem do tipo x^{n} com n constante. Uma forma muito prática de lidar com isso é transformar a potência em algo mais manejável usando logaritmo natural. Vamos fazer isso passo a passo.
Defina
y=f(x)=x^{x}.
Aplique o logaritmo natural aos dois lados (isso é válido porque x>0, então y>0):
\ln y=\ln\big(x^{x}\big).
Use a propriedade dos logaritmos \ln(a^{b})=b\ln a para simplificar o lado direito:
\ln y = x\ln x.

Passo 3

Agora vamos derivar ambos os lados em relação a x. Antes, revisão rápida das regras que vamos usar:
  • Regra da cadeia para \ln y: se y=y(x), então \dfrac{d}{dx}\ln y=\dfrac{y'}{y}. Aqui y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Regra do produto para x\ln x: \dfrac{d}{dx}\big(u\cdot v\big)=u'\,v+u\,v'.
  • Derivada de \ln x (para x>0) é \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
Agora aplique a derivação:
a) Derivada do lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\big(\ln y\big)=\frac{y'}{y}.
b) Derivada do lado direito, usando produto com u=x e v=\ln x:
\frac{d}{dx}\big(x\ln x\big) = 1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1.

Passo 4

Igualando as derivadas obtidas em Passo 3:
\frac{y'}{y} = \ln x + 1.
Agora isole y':
y' = y\big(\ln x + 1\big).

Passo 5

Volte à variável original: lembrando que y=x^{x}, substituímos:
f'(x)=x^{x}\big(\ln x + 1\big).
Comentário prático: essa é a forma mais útil na prova — deixe assim, não tente expandir mais. Exemplo numérico rápido para fixar: em x=2,
f'(2)=2^{2}\big(\ln 2 + 1\big)=4(\ln 2 + 1).
E em x=1,
f'(1)=1^{1}(\ln 1 + 1)=1\cdot(0+1)=1.

Resposta

f'(x)=x^{x}\big(\ln x + 1\big),\;x>0

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