Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
( de

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^4+2x^2-8x+4x^3-8,dx usando frações parciais. O conteúdo principal envolve divisão polinomial e decomposição em frações parciais, além de técnicas de integração de logaritmos e arctan. Vamos precisar fatorar o denominador x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) e depois decompor a fração.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão de polinômios de x^4+2x^2-8x+4 por x^3-8. Observando que x^4/(x^3)=x, temos
x^4+2x^2-8x+4x^3-8=x+2x^2+4x^3-8

Passo 3

Em seguida, vamos decompor
2x^2+4(x-2)(x^2+2x+4)=Ax-2+Bx+Cx^2+2x+4
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x^2+2x+4) e comparando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=2, 2A+C-2B=0, 4A-2C=4
Resolvendo, achamos A=1,;B=1,;C=0.

Passo 4

Agora a integral vira
integral x,dx+integral1x-2,dx+integralxx^2+2x+4,dx
A primeira é x^2/2, a segunda é ln|x-2|. Para a última, completamos o quadrado no denominador:
x^2+2x+4=(x+1)^2+3
Escrevemos x=(x+1)-1 e separamos:
integralx(x+1)^2+3,dx=integralx+1(x+1)^2+3,dx-integral1(x+1)^2+3,dx
A primeira parte dá tfrac12lnl((x+1)^2+3r) e a segunda dá tfrac1raiz3arctanl((x+1)/raiz3r) com sinal negativo.

Passo 5

Juntando tudo, a antiderivada geral fica:
x^22+ln|x-2|+12lnl((x+1)^2+3r)-1raiz3arctan! l(tfracx+1raiz3r)+C

Resposta

x^22+ln|x-2|+tfrac12lnl((x+1)^2+3r)-1raiz3arctanl(tfracx+1raiz3r)+C

Exercícios relacionados